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id: wiki-2026-0508-manhattan-distance
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title: Manhattan Distance
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category: 10_Wiki/Topics
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status: verified
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canonical_id: self
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aliases: [L1 Distance, Taxicab Distance, City Block Distance]
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duplicate_of: none
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source_trust_level: A
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confidence_score: 0.95
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verification_status: applied
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tags: [math, ml, distance-metric, knn, clustering]
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raw_sources: []
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last_reinforced: 2026-05-10
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github_commit: pending
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tech_stack: { language: python, framework: numpy-sklearn }
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# Manhattan Distance
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## 매 한 줄
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> **"매 격자에서의 걸음 수"**. L1 = Σ|xᵢ - yᵢ|. Outlier에 robust하고 sparse·high-dim에서 Euclidean보다 잘 작동하며, L1 정규화/Lasso의 기반.
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## 매 핵심
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### 매 정의
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- **Manhattan / L1**: $d(x,y) = \sum_i |x_i - y_i|$
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- **Euclidean / L2**: $\sqrt{\sum_i (x_i - y_i)^2}$
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- **Minkowski p**: $\left(\sum |x_i-y_i|^p\right)^{1/p}$ — p=1: Manhattan, p=2: Euclidean.
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- **Chebyshev / L∞**: max차원.
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### 매 특성
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1. 삼각 부등식 만족 → 진짜 metric.
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2. 좌표 회전에 비불변 (Euclidean과 다름).
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3. 차원의 저주에 덜 취약 (high-dim 검색에서 유리).
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4. Outlier에 quadratic 아닌 linear 영향.
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5. 미분 불가 at 0 → subgradient (Lasso 최적화).
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## 💻 패턴
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### Pattern 1 — NumPy
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```python
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import numpy as np
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d = np.sum(np.abs(x - y))
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# 행렬: cdist
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from scipy.spatial.distance import cdist
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D = cdist(X, Y, metric='cityblock')
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```
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### Pattern 2 — sklearn kNN
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```python
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from sklearn.neighbors import KNeighborsClassifier
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clf = KNeighborsClassifier(n_neighbors=5, metric='manhattan')
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clf.fit(X_train, y_train)
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```
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### Pattern 3 — DBSCAN with L1
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```python
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from sklearn.cluster import DBSCAN
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db = DBSCAN(eps=1.5, metric='manhattan').fit(X)
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```
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### Pattern 4 — PyTorch
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```python
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d = torch.cdist(X, Y, p=1) # L1
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# Lasso loss
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loss = mse + alpha * w.abs().sum()
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```
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### Pattern 5 — High-dim 비교 (Aggarwal 2001)
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```python
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# 차원 d↑ 시 Euclidean의 contrast 무너짐
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# fractional Lp (p<1)도 옵션
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def fractional_dist(x, y, p=0.5):
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return (np.abs(x-y)**p).sum() ** (1/p)
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```
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### Pattern 6 — 스케일 정규화 필수
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```python
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from sklearn.preprocessing import StandardScaler
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X_scaled = StandardScaler().fit_transform(X)
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# L1은 단위에 매우 민감
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```
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## 매 결정 기준
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| 상황 | Metric |
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| 일반 / continuous | **Euclidean (L2)** |
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| Outlier 많음 | **Manhattan (L1)** |
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| Sparse high-dim | **Manhattan** 또는 cosine |
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| 텍스트 임베딩 | cosine |
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| 범주형 우세 | Hamming / Gower |
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| Grid / Lattice 문제 | Manhattan (자연스러움) |
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| 시계열 | DTW |
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**기본값**: 정규화된 numeric은 L2, sparse/outlier-heavy는 L1.
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## 🔗 Graph
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- 응용: [[KNN]], [[K-Means]]
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- Adjacent: [[Curse-of-Dimensionality]]
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## 🤖 LLM 활용
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**언제**:
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- Metric 선택 가이드 (데이터 특성 → 추천).
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- sklearn/numpy 코드 스니펫.
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- Lp norm 차이 설명.
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**언제 X**:
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- 도메인 특화 metric 설계 (실험 필수).
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- 매우 큰 데이터 ANN 라이브러리 선택 (벤치마크 필요).
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## ❌ 안티패턴
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- 스케일 정규화 없이 L1 (큰 단위 feature 지배).
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- Categorical 변수에 Manhattan (Hamming 적합).
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- 회전이 의미 있는 데이터에 L1 (좌표축 의존).
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- 모든 모델에 같은 metric 가정.
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- 차원의 저주 무시 (>50 dim에서 어떤 distance든 약함).
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## 🧪 검증 / 중복
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- Verified. 신뢰도 A.
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## 🕓 Changelog
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| 날짜 | 변경 |
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|---|---|
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| 2026-05-08 | Phase 1 |
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| 2026-05-10 | Manual cleanup |
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