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id: wiki-2026-0508-logic
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title: Logic
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category: 10_Wiki/Topics
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status: verified
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canonical_id: self
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aliases: [Formal Logic, Mathematical Logic, Symbolic Logic]
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duplicate_of: none
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source_trust_level: A
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confidence_score: 0.9
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verification_status: applied
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tags: [math, ai, logic, reasoning, neuro-symbolic, prolog]
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raw_sources: []
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last_reinforced: 2026-05-10
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github_commit: pending
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tech_stack: { language: prolog-python, framework: z3-asp-pyke }
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# Logic
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## 매 한 줄
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> **"매 추론을 형식화한다"**. 명제·술어·양상·퍼지 논리는 truth-preserving 변환의 규칙이며, AI에서는 Prolog/ASP/SMT/Neuro-symbolic으로 LLM의 hallucination을 제약한다.
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## 매 핵심
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### 매 분류
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- **Propositional**: ∧ ∨ ¬ → ↔, 진리표.
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- **First-order (predicate)**: ∀ ∃, 술어, 함수 — 표현력 ↑.
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- **Higher-order**: 술어 자체를 정량화.
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- **Modal**: □ ◇ (필연/가능) — 시간/지식/의무.
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- **Fuzzy**: [0,1] 진리값 — 모호성.
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- **Linear / substructural**: 자원 회계.
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- **Probabilistic**: Bayesian + 논리 (Markov logic, ProbLog).
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- **Description Logic**: OWL, ontology.
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### 매 핵심 결과
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1. **Soundness/Completeness** (Gödel): 1차 논리 완전.
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2. **Incompleteness** (Gödel): 산술 포함 시 불완전.
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3. **Cut elimination** (Gentzen): 증명 정규화.
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4. **Curry-Howard**: 증명 = 프로그램, 명제 = 타입.
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5. **Resolution** (Robinson): 자동 정리 증명 기반.
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### 매 AI 응용
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- **Prolog**: 백트래킹 기반 논리 프로그래밍.
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- **ASP (Answer Set Programming)**: clingo, 조합 탐색.
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- **SAT/SMT** (Z3): 검증, 합성.
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- **Knowledge Graph + reasoner**: SPARQL, OWL.
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- **Neuro-symbolic**: LLM + symbolic verifier (e.g., Lean/Z3 augmented).
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- **LLM tool use**: Claude가 SMT/Lean 호출해 hallucination 차단.
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## 💻 패턴
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### Pattern 1 — Prolog 사실/규칙
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```prolog
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parent(alice, bob).
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parent(bob, carol).
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ancestor(X, Y) :- parent(X, Y).
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ancestor(X, Y) :- parent(X, Z), ancestor(Z, Y).
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?- ancestor(alice, carol). % true
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```
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### Pattern 2 — Z3 (SMT)
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```python
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from z3 import *
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x, y = Ints('x y')
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solve(x + y == 10, x - y == 4) # x=7, y=3
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```
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### Pattern 3 — ASP (clingo)
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```prolog
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% N-queens
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{queen(1..n, 1..n)}.
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:- queen(R,C1), queen(R,C2), C1 != C2.
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:- queen(R1,C), queen(R2,C), R1 != R2.
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:- queen(R1,C1), queen(R2,C2), |R1-R2| == |C1-C2|, R1!=R2.
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```
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### Pattern 4 — Fuzzy (scikit-fuzzy)
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```python
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import skfuzzy as fuzz
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warm = fuzz.trimf(x, [15, 22, 30])
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cool = fuzz.trimf(x, [0, 10, 20])
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```
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### Pattern 5 — Description Logic (OWL/Pellet)
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```turtle
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:Person rdf:type owl:Class .
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:hasParent rdf:type owl:ObjectProperty ;
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rdfs:domain :Person ; rdfs:range :Person .
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:Mother rdfs:subClassOf [owl:intersectionOf (:Person :Female)] .
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```
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### Pattern 6 — Lean 4 (proof assistant)
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```lean
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theorem add_comm (a b : Nat) : a + b = b + a := by
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induction a with
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| zero => simp
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| succ n ih => simp [Nat.succ_add, ih]
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```
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### Pattern 7 — Neuro-symbolic with LLM
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```python
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# LLM proposes plan → Z3 verifies constraints
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plan = claude.generate(problem)
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solver = Solver()
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solver.add(constraints_from(plan))
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if solver.check() == sat:
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return plan
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```
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## 매 결정 기준
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| 문제 | 도구 |
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|---|---|
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| 결정 가능, 작은 | Truth table / SAT (MiniSat, Glucose) |
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| 산술 포함 | SMT (Z3, CVC5) |
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| 조합 탐색 / 일정 | ASP (clingo) |
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| KB + 추론 | Prolog 또는 Datalog |
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| Ontology / Web | OWL + reasoner |
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| 정리 증명 | Lean, Coq, Isabelle |
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| 모호성 | Fuzzy / probabilistic |
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| LLM hallucination 검증 | LLM + Z3/Lean 결합 |
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**기본값**: 작으면 SAT, 산술이면 Z3, 검증이면 Lean.
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## 🔗 Graph
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- 변형: [[Fuzzy-Logic]]
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- 응용: [[Neural-Symbolic-Integration|Neuro-Symbolic-AI]]
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- Adjacent: [[Type-Theory]], [[Curry-Howard]], [[Knowledge Graph|Knowledge-Graph]], [[Theorem-Proving]]
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## 🤖 LLM 활용
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**언제**:
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- Z3/Prolog/ASP 인코딩 작성.
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- 논리식 ↔ 자연어 번역.
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- 증명 outline 초안.
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**언제 X**:
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- 정확한 정리 증명 (Lean/Coq 검증 필수).
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- Soundness 보장 주장 (도구로 확인).
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## ❌ 안티패턴
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- LLM에 직접 SAT 풀리기 (불완전).
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- First-order에서 결정 가능성 가정.
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- Fuzzy logic을 확률과 혼동.
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- Closed-world (Prolog) ↔ open-world (OWL) 구분 무시.
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- Neuro-symbolic을 만능으로 (병목은 인코딩).
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## 🧪 검증 / 중복
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- Verified. Z3 4.13, Lean 4, clingo 5 기준. 신뢰도 A.
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## 🕓 Changelog
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| 날짜 | 변경 |
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|---|---|
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| 2026-05-08 | Phase 1 |
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| 2026-05-10 | Manual cleanup |
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