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wiki-2026-0508-linear-discriminant-analysis	Linear Discriminant Analysis	10_Wiki/Topics	verified	self	LDA Fisher Discriminant Fisher LDA	none	A	0.9	applied	machine-learning classification dimensionality-reduction supervised sklearn		2026-05-10	pending	language framework python scikit-learn

Linear Discriminant Analysis

매 한 줄

"매 LDA = 클래스 간 분산은 최대, 클래스 내 분산은 최소가 되는 축을 찾는 supervised dim reduction". Fisher (1936)가 제안한 방법으로 PCA가 variance-maximizing이라면 LDA는 separability-maximizing. 동시에 Gaussian + 공분산 동일 가정 하에서 optimal Bayes classifier가 된다.

매 핵심

매 핵심 수식

• S_W = \sum_c \sum_{x \in c}(x - \mu_c)(x - \mu_c)^T — within-class scatter.
• S_B = \sum_c n_c (\mu_c - \mu)(\mu_c - \mu)^T — between-class scatter.
• 목적: \arg\max_W \frac{|W^T S_B W|}{|W^T S_W W|}.
• 해: $S_W^{-1} S_B$의 top eigenvector — 최대 (C-1)개 (C: class 수).

매 LDA vs PCA

항목	PCA	LDA
지도/비지도	비지도	지도
목적	variance 최대	class separability 최대
출력 차원 한계	min(n, d)	C-1
가정	없음 (centered)	Gaussian, 공분산 동일

매 분류기로서의 LDA

• 각 class가 같은 공분산 Σ를 가진 Gaussian이라 가정.
• Decision boundary가 linear.
• QDA (Quadratic): 공분산이 class별로 다름 → quadratic boundary.

매 한계

• 클래스 분포가 비-Gaussian이면 약함.
• Class 불균형 시 majority에 끌림.
• 비선형 boundary 못함 → Kernel LDA / NDA.
• C-1 차원 제약 → 2-class면 1차원만.

매 응용

1. Face recognition (Fisherfaces).
2. 의료 진단 (small classes, Gaussian-ish).
3. Document classification (TF-IDF 후).
4. EEG/생체신호 분류.
5. PCA 후 분류 직전 supervision으로 dim 줄이기.

💻 패턴

sklearn — 기본 분류

from sklearn.discriminant_analysis import LinearDiscriminantAnalysis
from sklearn.model_selection import cross_val_score

lda = LinearDiscriminantAnalysis()
print(cross_val_score(lda, X, y, cv=5).mean())
lda.fit(X_tr, y_tr)
print("priors:", lda.priors_, "means shape:", lda.means_.shape)

LDA를 dim reduction으로 사용

lda = LinearDiscriminantAnalysis(n_components=2)
X_2d = lda.fit_transform(X, y)   # (n, 2) — class별로 시각화
import matplotlib.pyplot as plt
for c in np.unique(y):
    plt.scatter(X_2d[y==c, 0], X_2d[y==c, 1], label=str(c), alpha=.6)
plt.legend(); plt.show()

LDA + Logistic 비교

from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.pipeline import Pipeline
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

models = {
  "lda": LinearDiscriminantAnalysis(),
  "logreg": Pipeline([("sc", StandardScaler()), ("lr", LogisticRegression(max_iter=2000))]),
}
for name, m in models.items():
    print(name, cross_val_score(m, X, y, cv=5).mean())
# Gaussian/공분산 동일에 가까우면 LDA가 logreg보다 안정적

Shrinkage LDA — 고차원/소표본

# d >> n 일 때 S_W가 singular → shrinkage 사용
lda = LinearDiscriminantAnalysis(solver="lsqr", shrinkage="auto")  # Ledoit-Wolf
lda.fit(X, y)

QDA — 공분산 다를 때

from sklearn.discriminant_analysis import QuadraticDiscriminantAnalysis
qda = QuadraticDiscriminantAnalysis(reg_param=0.01).fit(X_tr, y_tr)
print(qda.score(X_te, y_te))

From scratch — eigenvalue 풀이

import numpy as np
def lda_fit(X, y, n_components=None):
    classes = np.unique(y); d = X.shape[1]
    mean_total = X.mean(0)
    Sw = np.zeros((d, d)); Sb = np.zeros((d, d))
    for c in classes:
        Xc = X[y == c]
        mc = Xc.mean(0)
        Sw += (Xc - mc).T @ (Xc - mc)
        Sb += len(Xc) * np.outer(mc - mean_total, mc - mean_total)
    eigvals, eigvecs = np.linalg.eig(np.linalg.pinv(Sw) @ Sb)
    idx = np.argsort(-eigvals.real)
    W = eigvecs[:, idx[:n_components or len(classes)-1]].real
    return W

W = lda_fit(X, y, n_components=2)
X_proj = X @ W

Pipeline — PCA → LDA

from sklearn.decomposition import PCA
pipe = Pipeline([
    ("pca", PCA(n_components=50)),       # 1차로 dim 줄임 (S_W singular 회피)
    ("lda", LinearDiscriminantAnalysis(n_components=9)),  # 10-class 가정
    ("clf", LogisticRegression()),
]).fit(X_tr, y_tr)

매 결정 기준

상황	Approach
Class별 Gaussian + 공분산 동일	LDA (분류 + dim reduction)
Class별 공분산 다름	QDA
d >> n 또는 small sample	Shrinkage LDA
비-Gaussian / 비선형	Kernel LDA, tree, NN
시각화 (class-aware)	LDA(n_components=2 또는 3)

기본값: StandardScaler 후 sklearn LinearDiscriminantAnalysis(solver="lsqr", shrinkage="auto").

🔗 Graph

• 부모: Dimensionality-Reduction
• 응용: Image-Classification-Mastery, Bioinformatics
• Adjacent: PCA, Logistic-Regression-Foundations, Naive-Bayes

🤖 LLM 활용

언제: PCA vs LDA 결정 가이드, scatter matrix 직관 설명, shrinkage 파라미터 해석. 언제 X: covariance 동일성 통계 검정 — Box's M test 등 statistician 영역.

❌ 안티패턴

• Scaling 안 함: 큰 scale feature가 scatter matrix 지배.
• C-1 차원 초과 요구: 수학적으로 불가능.
• Class 매우 불균형: priors 자동값으로 거대 majority 쏠림.
• 고차원 소표본 raw LDA: S_W singular → shrinkage 또는 PCA 선행.
• 비-Gaussian 무시: outlier 한 개로 전체 boundary 흔들림.

🧪 검증 / 중복

• Verified (Fisher 1936, ESL Ch.4, sklearn 1.5+).
• 신뢰도 A.

🕓 Changelog

날짜	변경
2026-05-08	Phase 1
2026-05-10	Manual cleanup — Shrinkage/QDA, from-scratch eigen, PCA→LDA pipeline