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2026-07-05 00:44:01 +09:00

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Markov Chains

한 줄: "미래는 현재에만 의존" (memoryless) — 상태 전이 확률 행렬로 표현되는 확률 과정. PageRank·MCMC·HMM의 수학적 토대.

핵심

Markov property: P(X_{t+1} | X_t, X_{t-1}, ...) = P(X_{t+1} | X_t). 과거 무관, 현재만.
Transition matrix P: 행 합 = 1 (right stochastic). P[i][j] = i→j 확률.
Stationary distribution π: πP = π. 충분히 오래 돌리면 수렴하는 분포 (ergodic 가정).
분류: irreducible (모든 상태 도달), aperiodic (주기 없음), recurrent vs transient. 둘 다 만족 → ergodic → unique π.
Continuous-time (CTMC): rate matrix Q, e^{Qt}로 t-step 분포. queueing/생존분석.

결정 기준

문제	도구	비고
정상 분포 계산	π = left eigenvector of P (eigval=1)	`scipy.linalg.eig`
큰 sparse P	power iteration	PageRank 방식
사후분포 샘플링	MCMC (Metropolis-Hastings, Gibbs)	PyMC, Stan, NumPyro
숨은 상태 추론	HMM (Forward-Backward, Viterbi)	hmmlearn
강화학습	MDP (action 추가)	gymnasium, stable-baselines3
시퀀스 생성(텍스트)	n-gram MC	단순 baseline, LLM에 밀림

💻 패턴

Transition matrix & 정상 분포

import numpy as np
P = np.array([[0.7, 0.2, 0.1],
              [0.3, 0.4, 0.3],
              [0.2, 0.3, 0.5]])
# Method 1: eigenvector
w, v = np.linalg.eig(P.T)
pi = np.real(v[:, np.isclose(w, 1)].flatten()); pi /= pi.sum()
# Method 2: power iteration (sparse-friendly)
x = np.ones(3) / 3
for _ in range(1000): x = x @ P
print(pi, x)  # 동일

Simulation

def simulate(P, x0, T, rng=np.random.default_rng(0)):
    states = [x0]
    for _ in range(T):
        states.append(rng.choice(len(P), p=P[states[-1]]))
    return states

PageRank

def pagerank(M, d=0.85, tol=1e-8):
    n = M.shape[0]
    r = np.ones(n) / n
    teleport = np.ones(n) / n
    while True:
        r_new = d * (M.T @ r) + (1 - d) * teleport
        if np.linalg.norm(r_new - r, 1) < tol: return r_new
        r = r_new

Metropolis-Hastings (MCMC)

def metropolis(log_p, x0, n=10000, sigma=1.0, rng=np.random.default_rng()):
    samples = [x0]; x = x0
    for _ in range(n):
        x_prop = x + rng.normal(scale=sigma)
        if np.log(rng.random()) < log_p(x_prop) - log_p(x):
            x = x_prop
        samples.append(x)
    return np.array(samples)

Hidden Markov Model

from hmmlearn import hmm
model = hmm.GaussianHMM(n_components=3, covariance_type="diag", n_iter=100)
model.fit(X)                 # Baum-Welch
states = model.predict(X)    # Viterbi
log_prob = model.score(X)    # Forward

Mean first passage time

def mean_first_passage(P, target):
    n = len(P); Q = np.delete(np.delete(P, target, 0), target, 1)
    return np.linalg.solve(np.eye(n-1) - Q, np.ones(n-1))

🔗 Graph

상위: Probability
관련: MCMC · MDP · Reinforcement-Learning · Bayesian Inference

🤖 LLM 활용

LLM에게 transition matrix 입력 → 정상 분포·mixing time 해석 부탁 가능. 단, 수치 계산은 NumPy로 검증.
"내 도메인 문제를 MC로 모델링 가능한가?" 프레이밍에 LLM 유용 (state space 설계).

❌ 안티패턴

Markov property 위반 데이터에 MC 적용 — 장기 의존 → HMM/RNN/Transformer 고려.
Ergodicity 미확인 정상 분포 — reducible/주기 그래프에 π 가정 → 무의미.
MCMC chain 1개로 수렴 판정 — R-hat (Gelman-Rubin) 다중 chain으로 확인.
n-gram으로 자연어 생성 시도 — LLM 시대에 baseline 외 의미 적음.
희소 상태 dense matrix — 100k+ 상태는 scipy.sparse 필수.

🧪 검증 / 중복

중복 후보: MCMC, Hidden-Markov-Models, PageRank — 각각 응용 페이지로 분리. 본 문서는 이론 허브.
검증: 행 합 1, π·P = π, eigenvalue=1 다중도로 reducibility 확인.

🕓 Changelog

2026-05-08 | Phase 1 — 자동 시드.
2026-05-10 | Manual cleanup — 정상 분포·MCMC·HMM·PageRank 코드, 결정 기준, 안티패턴 정리.

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