2nd/10_Wiki/Topics/Domain_Programming/AI_and_ML/Manhattan-Distance.md

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wiki-2026-0508-manhattan-distance	Manhattan Distance	10_Wiki/Topics	verified	self	L1 Distance Taxicab Distance City Block Distance	none	A	0.95	applied	math ml distance-metric knn clustering		2026-05-10	pending	language framework python numpy-sklearn

Manhattan Distance

매 한 줄

"매 격자에서의 걸음 수". L1 = Σ|xᵢ - yᵢ|. Outlier에 robust하고 sparse·high-dim에서 Euclidean보다 잘 작동하며, L1 정규화/Lasso의 기반.

매 핵심

매 정의

• Manhattan / L1: d(x,y) = \sum_i |x_i - y_i|
• Euclidean / L2: \sqrt{\sum_i (x_i - y_i)^2}
• Minkowski p: \left(\sum |x_i-y_i|^p\right)^{1/p} — p=1: Manhattan, p=2: Euclidean.
• Chebyshev / L∞: max차원.

매 특성

1. 삼각 부등식 만족 → 진짜 metric.
2. 좌표 회전에 비불변 (Euclidean과 다름).
3. 차원의 저주에 덜 취약 (high-dim 검색에서 유리).
4. Outlier에 quadratic 아닌 linear 영향.
5. 미분 불가 at 0 → subgradient (Lasso 최적화).

💻 패턴

Pattern 1 — NumPy

import numpy as np
d = np.sum(np.abs(x - y))
# 행렬: cdist
from scipy.spatial.distance import cdist
D = cdist(X, Y, metric='cityblock')

Pattern 2 — sklearn kNN

from sklearn.neighbors import KNeighborsClassifier
clf = KNeighborsClassifier(n_neighbors=5, metric='manhattan')
clf.fit(X_train, y_train)

Pattern 3 — DBSCAN with L1

from sklearn.cluster import DBSCAN
db = DBSCAN(eps=1.5, metric='manhattan').fit(X)

Pattern 4 — PyTorch

d = torch.cdist(X, Y, p=1)  # L1
# Lasso loss
loss = mse + alpha * w.abs().sum()

Pattern 5 — High-dim 비교 (Aggarwal 2001)

# 차원 d↑ 시 Euclidean의 contrast 무너짐
# fractional Lp (p<1)도 옵션
def fractional_dist(x, y, p=0.5):
    return (np.abs(x-y)**p).sum() ** (1/p)

Pattern 6 — 스케일 정규화 필수

from sklearn.preprocessing import StandardScaler
X_scaled = StandardScaler().fit_transform(X)
# L1은 단위에 매우 민감

매 결정 기준

상황	Metric
일반 / continuous	Euclidean (L2)
Outlier 많음	Manhattan (L1)
Sparse high-dim	Manhattan 또는 cosine
텍스트 임베딩	cosine
범주형 우세	Hamming / Gower
Grid / Lattice 문제	Manhattan (자연스러움)
시계열	DTW

기본값: 정규화된 numeric은 L2, sparse/outlier-heavy는 L1.

🔗 Graph

• 응용: KNN, K-Means
• Adjacent: Curse-of-Dimensionality

🤖 LLM 활용

언제:

• Metric 선택 가이드 (데이터 특성 → 추천).
• sklearn/numpy 코드 스니펫.
• Lp norm 차이 설명.

언제 X:

• 도메인 특화 metric 설계 (실험 필수).
• 매우 큰 데이터 ANN 라이브러리 선택 (벤치마크 필요).

❌ 안티패턴

• 스케일 정규화 없이 L1 (큰 단위 feature 지배).
• Categorical 변수에 Manhattan (Hamming 적합).
• 회전이 의미 있는 데이터에 L1 (좌표축 의존).
• 모든 모델에 같은 metric 가정.
• 차원의 저주 무시 (>50 dim에서 어떤 distance든 약함).

🧪 검증 / 중복

• Verified. 신뢰도 A.

🕓 Changelog

날짜	변경
2026-05-08	Phase 1
2026-05-10	Manual cleanup