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id: wiki-2026-0508-manhattan-distance
title: Manhattan Distance
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aliases: [L1 Distance, Taxicab Distance, City Block Distance]
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verification_status: applied
tags: [math, ml, distance-metric, knn, clustering]
raw_sources: []
last_reinforced: 2026-05-10
github_commit: pending
tech_stack: { language: python, framework: numpy-sklearn }
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# Manhattan Distance

## 매 한 줄
> **"매 격자에서의 걸음 수"**. L1 = Σ|xᵢ - yᵢ|. Outlier에 robust하고 sparse·high-dim에서 Euclidean보다 잘 작동하며, L1 정규화/Lasso의 기반.

## 매 핵심
### 매 정의
- **Manhattan / L1**: $d(x,y) = \sum_i |x_i - y_i|$
- **Euclidean / L2**: $\sqrt{\sum_i (x_i - y_i)^2}$
- **Minkowski p**: $\left(\sum |x_i-y_i|^p\right)^{1/p}$ — p=1: Manhattan, p=2: Euclidean.
- **Chebyshev / L∞**: max차원.

### 매 특성
1. 삼각 부등식 만족 → 진짜 metric.
2. 좌표 회전에 비불변 (Euclidean과 다름).
3. 차원의 저주에 덜 취약 (high-dim 검색에서 유리).
4. Outlier에 quadratic 아닌 linear 영향.
5. 미분 불가 at 0 → subgradient (Lasso 최적화).

## 💻 패턴

### Pattern 1 — NumPy
```python
import numpy as np
d = np.sum(np.abs(x - y))
# 행렬: cdist
from scipy.spatial.distance import cdist
D = cdist(X, Y, metric='cityblock')
```

### Pattern 2 — sklearn kNN
```python
from sklearn.neighbors import KNeighborsClassifier
clf = KNeighborsClassifier(n_neighbors=5, metric='manhattan')
clf.fit(X_train, y_train)
```

### Pattern 3 — DBSCAN with L1
```python
from sklearn.cluster import DBSCAN
db = DBSCAN(eps=1.5, metric='manhattan').fit(X)
```

### Pattern 4 — PyTorch
```python
d = torch.cdist(X, Y, p=1)  # L1
# Lasso loss
loss = mse + alpha * w.abs().sum()
```

### Pattern 5 — High-dim 비교 (Aggarwal 2001)
```python
# 차원 d↑ 시 Euclidean의 contrast 무너짐
# fractional Lp (p<1)도 옵션
def fractional_dist(x, y, p=0.5):
    return (np.abs(x-y)**p).sum() ** (1/p)
```

### Pattern 6 — 스케일 정규화 필수
```python
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
X_scaled = StandardScaler().fit_transform(X)
# L1은 단위에 매우 민감
```

## 매 결정 기준
| 상황 | Metric |
|---|---|
| 일반 / continuous | **Euclidean (L2)** |
| Outlier 많음 | **Manhattan (L1)** |
| Sparse high-dim | **Manhattan** 또는 cosine |
| 텍스트 임베딩 | cosine |
| 범주형 우세 | Hamming / Gower |
| Grid / Lattice 문제 | Manhattan (자연스러움) |
| 시계열 | DTW |

**기본값**: 정규화된 numeric은 L2, sparse/outlier-heavy는 L1.

## 🔗 Graph
- 응용: [[KNN]], [[K-Means]]
- Adjacent: [[Curse-of-Dimensionality]]

## 🤖 LLM 활용
**언제**:
- Metric 선택 가이드 (데이터 특성 → 추천).
- sklearn/numpy 코드 스니펫.
- Lp norm 차이 설명.

**언제 X**:
- 도메인 특화 metric 설계 (실험 필수).
- 매우 큰 데이터 ANN 라이브러리 선택 (벤치마크 필요).

## ❌ 안티패턴
- 스케일 정규화 없이 L1 (큰 단위 feature 지배).
- Categorical 변수에 Manhattan (Hamming 적합).
- 회전이 의미 있는 데이터에 L1 (좌표축 의존).
- 모든 모델에 같은 metric 가정.
- 차원의 저주 무시 (>50 dim에서 어떤 distance든 약함).

## 🧪 검증 / 중복
- Verified. 신뢰도 A.

## 🕓 Changelog
| 날짜 | 변경 |
|---|---|
| 2026-05-08 | Phase 1 |
| 2026-05-10 | Manual cleanup |