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id: wiki-2026-0508-logic
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tags: [math, ai, logic, reasoning, neuro-symbolic, prolog]
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# Logic

## 매 한 줄
> **"매 추론을 형식화한다"**. 명제·술어·양상·퍼지 논리는 truth-preserving 변환의 규칙이며, AI에서는 Prolog/ASP/SMT/Neuro-symbolic으로 LLM의 hallucination을 제약한다.

## 매 핵심
### 매 분류
- **Propositional**: ∧ ∨ ¬ → ↔, 진리표.
- **First-order (predicate)**: ∀ ∃, 술어, 함수 — 표현력 ↑.
- **Higher-order**: 술어 자체를 정량화.
- **Modal**: □ ◇ (필연/가능) — 시간/지식/의무.
- **Fuzzy**: [0,1] 진리값 — 모호성.
- **Linear / substructural**: 자원 회계.
- **Probabilistic**: Bayesian + 논리 (Markov logic, ProbLog).
- **Description Logic**: OWL, ontology.

### 매 핵심 결과
1. **Soundness/Completeness** (Gödel): 1차 논리 완전.
2. **Incompleteness** (Gödel): 산술 포함 시 불완전.
3. **Cut elimination** (Gentzen): 증명 정규화.
4. **Curry-Howard**: 증명 = 프로그램, 명제 = 타입.
5. **Resolution** (Robinson): 자동 정리 증명 기반.

### 매 AI 응용
- **Prolog**: 백트래킹 기반 논리 프로그래밍.
- **ASP (Answer Set Programming)**: clingo, 조합 탐색.
- **SAT/SMT** (Z3): 검증, 합성.
- **Knowledge Graph + reasoner**: SPARQL, OWL.
- **Neuro-symbolic**: LLM + symbolic verifier (e.g., Lean/Z3 augmented).
- **LLM tool use**: Claude가 SMT/Lean 호출해 hallucination 차단.

## 💻 패턴

### Pattern 1 — Prolog 사실/규칙
```prolog
parent(alice, bob).
parent(bob, carol).
ancestor(X, Y) :- parent(X, Y).
ancestor(X, Y) :- parent(X, Z), ancestor(Z, Y).
?- ancestor(alice, carol).  % true
```

### Pattern 2 — Z3 (SMT)
```python
from z3 import *
x, y = Ints('x y')
solve(x + y == 10, x - y == 4)  # x=7, y=3
```

### Pattern 3 — ASP (clingo)
```prolog
% N-queens
{queen(1..n, 1..n)}.
:- queen(R,C1), queen(R,C2), C1 != C2.
:- queen(R1,C), queen(R2,C), R1 != R2.
:- queen(R1,C1), queen(R2,C2), |R1-R2| == |C1-C2|, R1!=R2.
```

### Pattern 4 — Fuzzy (scikit-fuzzy)
```python
import skfuzzy as fuzz
warm = fuzz.trimf(x, [15, 22, 30])
cool = fuzz.trimf(x, [0, 10, 20])
```

### Pattern 5 — Description Logic (OWL/Pellet)
```turtle
:Person rdf:type owl:Class .
:hasParent rdf:type owl:ObjectProperty ;
           rdfs:domain :Person ; rdfs:range :Person .
:Mother rdfs:subClassOf [owl:intersectionOf (:Person :Female)] .
```

### Pattern 6 — Lean 4 (proof assistant)
```lean
theorem add_comm (a b : Nat) : a + b = b + a := by
  induction a with
  | zero => simp
  | succ n ih => simp [Nat.succ_add, ih]
```

### Pattern 7 — Neuro-symbolic with LLM
```python
# LLM proposes plan → Z3 verifies constraints
plan = claude.generate(problem)
solver = Solver()
solver.add(constraints_from(plan))
if solver.check() == sat:
    return plan
```

## 매 결정 기준
| 문제 | 도구 |
|---|---|
| 결정 가능, 작은 | Truth table / SAT (MiniSat, Glucose) |
| 산술 포함 | SMT (Z3, CVC5) |
| 조합 탐색 / 일정 | ASP (clingo) |
| KB + 추론 | Prolog 또는 Datalog |
| Ontology / Web | OWL + reasoner |
| 정리 증명 | Lean, Coq, Isabelle |
| 모호성 | Fuzzy / probabilistic |
| LLM hallucination 검증 | LLM + Z3/Lean 결합 |

**기본값**: 작으면 SAT, 산술이면 Z3, 검증이면 Lean.

## 🔗 Graph
- 변형: [[Fuzzy-Logic]]
- 응용: [[Neural-Symbolic-Integration|Neuro-Symbolic-AI]]
- Adjacent: [[Type Theory]], [[Curry-Howard]], [[Knowledge Graph|Knowledge-Graph]], [[Theorem-Proving]]

## 🤖 LLM 활용
**언제**:
- Z3/Prolog/ASP 인코딩 작성.
- 논리식 ↔ 자연어 번역.
- 증명 outline 초안.

**언제 X**:
- 정확한 정리 증명 (Lean/Coq 검증 필수).
- Soundness 보장 주장 (도구로 확인).

## ❌ 안티패턴
- LLM에 직접 SAT 풀리기 (불완전).
- First-order에서 결정 가능성 가정.
- Fuzzy logic을 확률과 혼동.
- Closed-world (Prolog) ↔ open-world (OWL) 구분 무시.
- Neuro-symbolic을 만능으로 (병목은 인코딩).

## 🧪 검증 / 중복
- Verified. Z3 4.13, Lean 4, clingo 5 기준. 신뢰도 A.

## 🕓 Changelog
| 날짜 | 변경 |
|---|---|
| 2026-05-08 | Phase 1 |
| 2026-05-10 | Manual cleanup |