refactor(topics): 멀티 에이전트용 지식 재편 — _Common(공통 기본기) + Domain_* 구조
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id: wiki-2026-0508-linear-regression-mastery
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title: Linear Regression Mastery
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category: 10_Wiki/Topics
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status: verified
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canonical_id: self
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aliases: [Linear Regression, OLS, Ordinary Least Squares, Ridge, Lasso]
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duplicate_of: none
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source_trust_level: A
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confidence_score: 0.9
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verification_status: applied
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tags: [machine-learning, regression, statistics, sklearn, ols, ridge, lasso]
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raw_sources: []
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last_reinforced: 2026-05-10
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github_commit: pending
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tech_stack:
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language: python
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framework: scikit-learn/statsmodels
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# Linear Regression Mastery
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## 매 한 줄
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> **"매 모든 ML의 출발점 — y = Xβ + ε"**. Linear regression은 feature와 target의 선형 관계를 OLS로 추정하는 모델. 단순함 덕분에 해석성·속도·baseline으로 강하며, regularization (Ridge/Lasso/Elastic Net)으로 high-dim에서도 살아남는다. 2026 시대에도 production tabular ML의 절반은 여전히 linear.
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## 매 핵심
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### 매 OLS 수식
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- 모델: $y = X\beta + \varepsilon$.
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- 목적: $\min_\beta \|y - X\beta\|^2$.
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- 닫힌해: $\hat\beta = (X^TX)^{-1}X^Ty$ (X full-rank일 때).
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- 기하적: y를 column space of X에 projection.
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### 매 가정 (LINE)
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- **L**inearity: y와 X의 관계가 선형.
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- **I**ndependence: 잔차 i.i.d.
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- **N**ormality: 잔차 ~ N(0, σ²) (소표본일 때 inference에 필요).
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- **E**qual variance (homoscedasticity): 잔차 분산 일정.
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- **추가**: No multicollinearity (X feature 간 상관 낮음).
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### 매 Regularized 변종
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- **Ridge (L2)**: $\min \|y-X\beta\|^2 + \lambda\|\beta\|_2^2$ — 모든 계수 작게.
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- **Lasso (L1)**: $\min \|y-X\beta\|^2 + \lambda\|\beta\|_1$ — sparsity (feature selection).
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- **Elastic Net**: L1 + L2 — 상관된 feature 그룹 처리.
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### 매 진단
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- R² / Adjusted R²: 설명력.
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- RMSE / MAE: 예측 오차.
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- VIF > 10: multicollinearity 의심.
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- Residual plot: 패턴 있으면 비선형.
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- QQ plot: normality 체크.
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- Cook's distance: 영향력 큰 outlier.
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### 매 응용
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1. Tabular baseline (어떤 ML이든 첫 모델).
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2. Feature 영향 해석 (coefficient).
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3. Time-series trend.
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4. A/B test effect size.
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5. Causal inference (DiD, IV)의 backbone.
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## 💻 패턴
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### sklearn — 기본 OLS
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```python
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from sklearn.linear_model import LinearRegression
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from sklearn.model_selection import train_test_split
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from sklearn.metrics import mean_squared_error, r2_score
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import numpy as np
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X_tr, X_te, y_tr, y_te = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)
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model = LinearRegression().fit(X_tr, y_tr)
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pred = model.predict(X_te)
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print("R²:", r2_score(y_te, pred), "RMSE:", np.sqrt(mean_squared_error(y_te, pred)))
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print("coef:", dict(zip(feature_names, model.coef_)))
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```
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### Ridge / Lasso / ElasticNet — CV로 alpha 선택
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```python
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from sklearn.linear_model import RidgeCV, LassoCV, ElasticNetCV
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from sklearn.preprocessing import StandardScaler
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from sklearn.pipeline import Pipeline
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ridge = Pipeline([("sc", StandardScaler()),
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("m", RidgeCV(alphas=np.logspace(-3, 3, 50), cv=5))]).fit(X_tr, y_tr)
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lasso = Pipeline([("sc", StandardScaler()),
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("m", LassoCV(cv=5, max_iter=10000))]).fit(X_tr, y_tr)
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en = Pipeline([("sc", StandardScaler()),
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("m", ElasticNetCV(l1_ratio=[.1,.5,.7,.9,.95,1], cv=5))]).fit(X_tr, y_tr)
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print("ridge alpha:", ridge.named_steps["m"].alpha_)
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print("lasso non-zero:", (lasso.named_steps["m"].coef_ != 0).sum())
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```
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### statsmodels — 통계적 추론 (p-value, CI)
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```python
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import statsmodels.api as sm
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X_const = sm.add_constant(X_tr)
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ols = sm.OLS(y_tr, X_const).fit()
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print(ols.summary()) # coef, std-err, t, p, [95% CI]
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print("Cond no:", ols.condition_number) # >30 multicollinearity 의심
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```
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### 진단 — VIF + residual plot
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```python
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from statsmodels.stats.outliers_influence import variance_inflation_factor
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import matplotlib.pyplot as plt
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vif = [variance_inflation_factor(X_tr.values, i) for i in range(X_tr.shape[1])]
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print(dict(zip(X_tr.columns, vif))) # >10이면 제거 또는 PCA
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resid = y_tr - model.predict(X_tr)
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plt.scatter(model.predict(X_tr), resid, alpha=.4); plt.axhline(0)
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plt.xlabel("fitted"); plt.ylabel("residual"); plt.show()
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```
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### Polynomial features (비선형 처리)
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```python
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from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
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poly = PolynomialFeatures(degree=2, interaction_only=False, include_bias=False)
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Xp_tr = poly.fit_transform(X_tr)
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Pipeline([("sc", StandardScaler()),
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("m", RidgeCV())]).fit(Xp_tr, y_tr) # 항상 Ridge — 차원 폭증
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```
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### Bayesian linear regression — PyMC
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```python
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import pymc as pm
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with pm.Model() as m:
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β = pm.Normal("β", 0, 10, shape=X_tr.shape[1])
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α = pm.Normal("α", 0, 10)
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σ = pm.HalfNormal("σ", 5)
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y_obs = pm.Normal("y", α + X_tr.values @ β, σ, observed=y_tr)
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trace = pm.sample(1000, tune=1000, chains=4)
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pm.summary(trace, hdi_prob=0.95)
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```
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### From scratch — gradient descent
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```python
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import numpy as np
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def fit_gd(X, y, lr=1e-2, epochs=2000, l2=0.0):
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n, d = X.shape
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X_ = np.c_[np.ones(n), X]
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w = np.zeros(d + 1)
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for _ in range(epochs):
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grad = -2/n * X_.T @ (y - X_ @ w) + 2*l2 * np.r_[0, w[1:]]
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w -= lr * grad
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return w[0], w[1:]
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```
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## 매 결정 기준
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| 상황 | Approach |
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|---|---|
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| Baseline 빠르게 | OLS |
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| Multicollinearity / p>>n | Ridge |
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| Feature selection 원함 | Lasso |
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| 상관된 feature 그룹 | Elastic Net |
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| 비선형 의심 | Polynomial + Ridge or move to tree |
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| 통계적 추론 (p-value) | statsmodels |
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**기본값**: StandardScaler + RidgeCV — 안전, 해석 가능, 빠름.
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## 🔗 Graph
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- 부모: [[Regression]]
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- 변형: [[Ridge-Regression]], [[Elastic-Net]], [[Logistic-Regression-Foundations]]
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- 응용: [[Time-Series-Analysis|Time-Series-Forecasting]], [[Causal-Inference]]
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||||
- Adjacent: [[L1-and-L2-Regularization]], [[Feature Engineering|Feature-Engineering]]
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## 🤖 LLM 활용
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**언제**: feature engineering ideation, residual plot 해석, statsmodels output 설명.
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**언제 X**: 데이터 자체의 outlier 판단 — 도메인 지식 필요.
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## ❌ 안티패턴
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- **Scaling 안 함**: Ridge/Lasso는 scale에 민감.
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- **VIF 무시**: coefficient 부호 뒤집힘.
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- **R² 만 보고 판단**: 과적합 못 잡음 — adjusted R² 또는 CV 사용.
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- **잔차 plot 안 봄**: 비선형성 놓침.
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- **소표본에 polynomial deg 5+**: 폭주, overfit.
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## 🧪 검증 / 중복
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- Verified (ESL Hastie/Tibshirani, sklearn 1.5+, statsmodels 0.14).
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- 신뢰도 A.
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## 🕓 Changelog
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| 날짜 | 변경 |
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| 2026-05-08 | Phase 1 |
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| 2026-05-10 | Manual cleanup — Ridge/Lasso/EN, 진단, Bayesian 추가 |
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