docs(10_Wiki): Topic_Business/General/Graphic/Programming을 Topics/ 하위로 이동

최상위 10_Wiki/Topic_*였던 4개 카테고리 폴더를 10_Wiki/Topics/Topic_* 로 재배치.
콘텐츠 변경 없음(순수 폴더 이동) — Topics/ 하위 나머지 폴더는 이미 지난 커밋에서
전부 정리된 상태(잔존 항목은 에이전트 운영 상태 및 사용자가 보존을 요청한
업데이트0615/무제 3.canvas 뿐).

10_Wiki/Topics/Topic_Programming/AI_and_ML/MAP-Estimation.md

@@ -0,0 +1,138 @@
+---
+id: wiki-2026-0508-map-estimation
+title: MAP Estimation (Maximum A Posteriori)
+category: 10_Wiki/Topics
+status: verified
+canonical_id: self
+aliases: [MAP, Maximum A Posteriori, MAP 추정]
+duplicate_of: none
+source_trust_level: A
+confidence_score: 0.9
+verification_status: applied
+tags: [bayesian, estimation, mle, prior, regularization, statistics]
+raw_sources: []
+last_reinforced: 2026-05-10
+github_commit: pending
+tech_stack: { language: python, framework: numpy-pymc-pytorch }
+---
+
+# MAP Estimation (Maximum A Posteriori)
+
+## 매 한 줄
+> **"매 사전 지식 + 매 데이터 = 매 사후 최댓값"**. MAP 은 prior $p(\theta)$ 와 likelihood $p(D|\theta)$ 를 곱한 posterior 를 최대화하는 점추정이며, log-prior 가 정규화 항으로 들어가 MLE + regularization 과 동등하다.
+
+## 매 핵심
+### 매 정의
+$$\hat\theta_{MAP} = \arg\max_\theta p(\theta|D) = \arg\max_\theta p(D|\theta)\, p(\theta)$$
+
+log 형태:
+$$\hat\theta_{MAP} = \arg\max_\theta \big[ \log p(D|\theta) + \log p(\theta) \big]$$
+
+### 매 MLE 와의 관계
+- **MLE**: $\arg\max p(D|\theta)$ — prior 없음 (또는 uniform).
+- **MAP**: MLE + log-prior 정규화 항.
+- 데이터가 많아질수록 likelihood dominant → MAP → MLE 수렴.
+- 데이터가 적을 때 prior 의 영향 큼 (smoothing).
+
+### 매 정규화 등가성
+1. **Gaussian prior** $\theta \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)$ → $-\frac{1}{2\sigma^2}\|\theta\|^2$ → **L2 (Ridge)**.
+2. **Laplace prior** $\theta \sim \text{Lap}(0, b)$ → $-\frac{1}{b}|\theta|$ → **L1 (Lasso)**.
+3. **Beta prior** for Bernoulli → Laplace smoothing (additive +α).
+4. **Dirichlet prior** for categorical → multinomial smoothing.
+
+### 매 vs Full Bayesian
+- MAP = posterior 의 mode (점추정), 불확실성 X.
+- Full Bayes = 전체 분포 (MCMC, VI), 예측에 평균/적분.
+- MAP 은 빠르고 단순, 비대칭 분포에서는 mode 가 mean 과 크게 다름.
+
+## 💻 패턴
+### 1. Coin flip — Beta prior
+```python
+import numpy as np
+heads, tails = 7, 3
+# Beta(α, β) prior, posterior = Beta(α+h, β+t)
+alpha, beta = 2, 2
+mode_map = (alpha + heads - 1) / (alpha + beta + heads + tails - 2)
+mle = heads / (heads + tails)
+print(mle, mode_map)        # 0.7  vs 0.6818
+```
+
+### 2. Linear regression: Ridge = MAP w/ Gaussian prior
+```python
+from sklearn.linear_model import Ridge
+ridge = Ridge(alpha=1.0)            # alpha = 1/(2σ²) on weights
+ridge.fit(X, y)
+```
+가중치 prior $\mathcal{N}(0,\sigma^2 I)$, noise prior 별도 → closed-form MAP = Ridge.
+
+### 3. Logistic regression: L2 = MAP
+```python
+from sklearn.linear_model import LogisticRegression
+LogisticRegression(penalty="l2", C=1.0).fit(X, y)   # C=1/λ
+```
+
+### 4. PyMC explicit MAP
+```python
+import pymc as pm, numpy as np
+with pm.Model() as m:
+    mu = pm.Normal("mu", 0, 10)
+    sigma = pm.HalfNormal("sigma", 1)
+    pm.Normal("obs", mu=mu, sigma=sigma, observed=data)
+    map_est = pm.find_MAP()
+```
+
+### 5. PyTorch MAP via SGD
+```python
+loss = nll(model(x), y) + 0.5 * lam * sum((p**2).sum() for p in model.parameters())
+loss.backward(); opt.step()
+# lam = 1/σ²(prior) — Gaussian prior MAP
+```
+
+### 6. Laplace smoothing in NB classifier
+```python
+P_w_given_c = (count_wc + 1) / (count_c + V)   # Dirichlet(1,..,1) prior
+```
+
+### 7. Kalman filter 의 update 단계 = MAP
+```python
+# prior  : N(x_pred, P_pred)
+# likeli : N(z; H x, R)
+# posterior mode = MAP = standard KF update
+```
+
+## 매 결정 기준
+| 상황 | Estimator |
+|---|---|
+| 데이터 많음, prior 약함 | MLE |
+| 데이터 적음, 사전 지식 있음 | MAP |
+| 정규화 필요 | MAP (Gaussian/Laplace prior) |
+| 불확실성 정량화 필요 | Full Bayes (posterior 전체) |
+| 빠른 점추정 + smoothing | MAP |
+
+**기본값**: MLE 가 overfit 위험이거나 sparse 데이터면 MAP, 의사결정에 불확실성이 중요하면 full Bayes.
+
+## 🔗 Graph
+- 부모: [[Bayesian Inference]]
+- 변형: [[Variational-Inference]], [[MCMC]]
+- 응용: [[Ridge-Regression]], [[Lasso]], [[Naive-Bayes]], [[Kalman-Filter-and-State-Tracking|Kalman-Filter]]
+- Adjacent: [[L1-and-L2-Regularization|Regularization]]
+
+## 🤖 LLM 활용
+**언제**: prior ↔ regularizer 매핑 설명, MAP 수식 derive, 작은 코드 스니펫.
+**언제 X**: 비표준 prior 의 polynomial-time 풀이 (보통 sampling 필요).
+
+## ❌ 안티패턴
+- prior 를 reparametrize 하면 MAP mode 가 변한다 — invariance 없음 (MLE 는 변함, posterior 평균은 더 안정).
+- 강한 prior + 적은 데이터 → 실제 신호 묻힘.
+- MAP 점추정으로 의사결정 후 불확실성 무시.
+- 비대칭/다봉 posterior 에서 mode 만 보고 결론.
+- 균등 prior 를 무한 구간에 부여 — improper, 정규화 안 됨.
+
+## 🧪 검증 / 중복
+- Verified. 신뢰도 A.
+
+## 🕓 Changelog
+| 날짜 | 변경 |
+|---|---|
+| 2026-05-08 | Phase 1 |
+| 2026-05-10 | Manual cleanup |