docs(10_Wiki): 위키 전체 재구성 — Topic_* 폴더를 4개 카테고리로 통합 + 대규모 중복 제거
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Antigravity Agent
@@ -0,0 +1,239 @@
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id: wiki-2026-0508-bayesian-statistics
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title: Bayesian Statistics
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category: 10_Wiki/Topics
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status: verified
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canonical_id: self
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aliases: [베이지안 통계, Bayes' theorem, posterior, prior, MCMC, variational inference, PyMC, Stan]
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duplicate_of: none
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source_trust_level: A
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confidence_score: 0.95
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verification_status: applied
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tags: [bayesian, statistics, mcmc, variational-inference, pymc, stan, probabilistic-programming, uncertainty]
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raw_sources: []
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last_reinforced: 2026-05-10
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github_commit: pending
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tech_stack:
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language: Python
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framework: PyMC / Stan / NumPyro / Pyro
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# Bayesian Statistics
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## 📌 한 줄 통찰
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> **"매 probability = 매 belief 의 degree"**. 매 frequency X — 매 prior + data → posterior 의 update. 매 small data + prior knowledge 의 strong. 매 result = 매 distribution (not point). 매 modern compute (MCMC / VI) 의 mainstream.
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## 📖 핵심
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### Bayes' theorem
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$$P(\theta | D) = \frac{P(D | \theta) \cdot P(\theta)}{P(D)}$$
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- **P(θ)**: prior — 매 belief.
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- **P(D | θ)**: likelihood — 매 data 의 model.
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- **P(θ | D)**: posterior — 매 update 된 belief.
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- **P(D)**: evidence (normalizer).
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### vs Frequentist
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| 측면 | Frequentist | Bayesian |
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|---|---|---|
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| Probability | 매 long-run frequency | 매 belief degree |
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| Parameter | 매 fixed unknown | 매 random variable |
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| Result | 매 point + CI | 매 posterior distribution |
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| Small data | 매 fragile | 매 prior 의 robust |
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| Compute | 매 cheap | 매 expensive (until MCMC) |
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| Interpretation | "95% of intervals contain θ" | "P(θ ∈ [a,b]) = 0.95" |
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### 매 conjugate prior (analytical)
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| Likelihood | Prior | Posterior |
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|---|---|---|
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| Binomial | Beta | Beta |
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| Poisson | Gamma | Gamma |
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| Normal (known σ) | Normal | Normal |
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| Normal (unknown μ,σ) | Normal-Gamma | Normal-Gamma |
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| Multinomial | Dirichlet | Dirichlet |
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→ 매 closed-form 가, 매 limited.
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### 매 inference (modern)
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#### MCMC (Markov Chain Monte Carlo)
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- **Metropolis-Hastings**: 매 random walk + accept/reject.
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- **Hamiltonian MC (HMC)**: 매 gradient 활용.
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- **NUTS** (No-U-Turn): 매 HMC 의 auto-tune.
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- ✅ 매 정확. ❌ 매 slow.
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#### Variational Inference (VI)
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- 매 posterior 의 approximate distribution q(θ) 의 fit.
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- 매 KL divergence 의 minimize.
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- ✅ 매 fast + scale. ❌ 매 approximate.
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#### Sequential Monte Carlo
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- 매 particle filter.
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- 매 streaming OK.
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### 매 응용
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1. **A/B testing**: 매 frequentist 보다 매 interpretable.
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2. **Hyperparameter tuning** (Bayesian Optimization): 매 GP + acquisition.
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3. **Hierarchical models**: 매 group-level prior.
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4. **Time series** (state-space): 매 Kalman, 매 particle filter.
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5. **Causal inference** (Bayesian network): 매 DAG.
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6. **Drug discovery / clinical**: 매 small N + strong prior.
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7. **Robotics** (SLAM): 매 pose + map 의 joint.
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8. **Topic modeling** (LDA): 매 Dirichlet prior.
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### 매 modern stack
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- **Stan**: 매 NUTS, 매 mature.
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- **PyMC** (3 → 4 → 5): 매 Python + Aesara.
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- **NumPyro**: 매 JAX-based, 매 fast.
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- **Pyro**: 매 PyTorch + VI.
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- **TFP**: 매 TensorFlow Probability.
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- **Edward2 / blackjax**: 매 modular.
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## 💻 패턴
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### Coin flip (PyMC)
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```python
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import pymc as pm
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import numpy as np
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# 매 data: 매 8 head, 매 2 tail
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data = np.array([1]*8 + [0]*2)
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with pm.Model() as model:
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p = pm.Beta('p', alpha=2, beta=2) # 매 prior
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obs = pm.Bernoulli('obs', p=p, observed=data)
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trace = pm.sample(2000, return_inferencedata=True)
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# 매 posterior
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import arviz as az
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az.plot_posterior(trace)
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print(az.summary(trace))
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# p mean ≈ 0.71, hdi_3% ≈ 0.50, hdi_97% ≈ 0.89
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```
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### Hierarchical (group-level)
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```python
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with pm.Model() as h:
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# 매 hyperprior
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mu = pm.Normal('mu', 0, 10)
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sigma = pm.HalfNormal('sigma', 5)
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# 매 group-level
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theta = pm.Normal('theta', mu, sigma, shape=n_groups)
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# 매 likelihood
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y = pm.Normal('y', theta[group_idx], 1, observed=data)
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trace = pm.sample(2000)
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```
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→ 매 partial pooling — 매 group 의 small N 의 borrow strength.
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||||
### Bayesian A/B test
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```python
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with pm.Model() as ab:
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p_a = pm.Beta('p_a', 1, 1)
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p_b = pm.Beta('p_b', 1, 1)
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obs_a = pm.Binomial('obs_a', n=n_a, p=p_a, observed=conv_a)
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||||
obs_b = pm.Binomial('obs_b', n=n_b, p=p_b, observed=conv_b)
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diff = pm.Deterministic('diff', p_b - p_a)
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trace = pm.sample(2000)
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# 매 P(B > A)
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prob_b_better = (trace.posterior['diff'] > 0).mean().item()
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print(f'P(B > A) = {prob_b_better:.3f}')
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```
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→ 매 frequentist 보다 매 actionable.
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### Variational inference (faster)
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```python
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import numpyro
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import numpyro.distributions as dist
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from numpyro.infer import SVI, Trace_ELBO
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||||
from numpyro.infer.autoguide import AutoNormal
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def model(data):
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p = numpyro.sample('p', dist.Beta(2, 2))
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||||
numpyro.sample('obs', dist.Bernoulli(p), obs=data)
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||||
guide = AutoNormal(model)
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||||
svi = SVI(model, guide, optim.Adam(0.01), Trace_ELBO())
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||||
state = svi.init(jax.random.PRNGKey(0), data)
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||||
for step in range(2000):
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state, loss = svi.update(state, data)
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```
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### Bayesian Optimization (hyperparameter)
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```python
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from skopt import gp_minimize
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from skopt.space import Real, Integer
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def objective(params):
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lr, depth = params
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return train_and_eval(lr, depth) # 매 minimize
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result = gp_minimize(
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objective,
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||||
[Real(1e-5, 1e-1, prior='log-uniform', name='lr'),
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||||
Integer(1, 10, name='depth')],
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n_calls=50,
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)
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```
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### Posterior predictive check
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```python
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with model:
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ppc = pm.sample_posterior_predictive(trace)
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# 매 simulated data 의 actual 의 비교 — 매 model fit 의 visual.
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az.plot_ppc(az.from_pymc3(posterior_predictive=ppc, model=model))
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```
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## 🤔 결정 기준
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| 상황 | Method |
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|---|---|
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| Small data + prior | Conjugate (analytical) |
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| Complex model + accuracy | NUTS (PyMC / Stan) |
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| Large data + speed | VI (Pyro / NumPyro) |
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| Streaming | Particle filter |
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| Hyperparameter tune | BO (skopt / Optuna) |
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| A/B test | Beta-Binomial + Bayes |
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| Topic modeling | LDA |
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| Causal | Bayesian network |
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**기본값**: PyMC + NUTS 의 baseline. 매 scale 가 NumPyro / VI.
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## 🔗 Graph
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- 부모: [[Statistics]] · [[Probability Theory]]
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- 변형: [[MCMC]] · [[Variational-Inference]] · [[Bayesian-Network]]
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- 응용: [[Bayesian-Optimization]] · [[LDA]] · [[SLAM]]
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- Tool: [[PyMC]] · [[Stan]]
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||||
- Adjacent: [[Bayes-Theorem]] · [[Bayesian-Updating]]
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## 🤖 LLM 활용
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**언제**: 매 small data + prior. 매 uncertainty quantify. 매 hierarchical structure. 매 hyperparameter tune.
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**언제 X**: 매 large data + speed > accuracy. 매 simple frequentist 의 OK.
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## ❌ 안티패턴
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- **Improper prior**: 매 posterior 의 invalid.
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- **No PPC**: 매 fit 의 모름.
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- **MCMC 의 chains 1**: 매 convergence 의 detect X.
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- **Burn-in 무시**: 매 biased estimate.
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- **Conjugate 의 force**: 매 wrong likelihood.
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- **VI 의 over-confident** (mean-field): 매 underestimate uncertainty.
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- **R-hat ignore**: 매 non-convergence.
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## 🧪 검증 / 중복
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- Verified (Gelman BDA, McElreath Statistical Rethinking, Stan/PyMC docs).
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||||
- 신뢰도 A.
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||||
- Related: [[Bayes-Theorem]] · [[MCMC]] · [[Bayesian-Optimization]] · [[Variational-Inference]].
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## 🕓 Changelog
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| 날짜 | 변경 |
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| 2026-05-08 | Phase 1 |
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| 2026-05-10 | Manual cleanup — Bayes formula + MCMC / VI + 매 PyMC / NumPyro / skopt code |
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Reference in New Issue
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