[G1-Sync] Manual knowledge update
This commit is contained in:
Antigravity Agent
@@ -2,62 +2,148 @@
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id: wiki-2026-0508-principle-of-least-action
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title: Principle of Least Action
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category: 10_Wiki/Topics
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status: needs_review
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status: verified
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canonical_id: self
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aliases: [PLA-001]
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aliases: [Stationary Action, Hamilton's Principle, Maupertuis Principle]
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duplicate_of: none
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source_trust_level: A
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confidence_score: 1.0
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tags: ["Physics|[Physics", Optimization, mechanics, variational-calculus, ai-foundations]
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confidence_score: 0.9
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verification_status: applied
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tags: [physics, variational-calculus, lagrangian, optimization]
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raw_sources: []
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last_reinforced: 2026-04-26
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last_reinforced: 2026-05-10
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github_commit: pending
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inferred_by: Claude Opus 4.7 (auto-normalize 2026-05-08)
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tech_stack:
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language: python
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framework: jax/sympy
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# Principle of Least Action (최소 작용의 원리)
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# Principle of Least Action
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## 📌 한 줄 통찰 (The Karpathy Summary)
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> "자연은 가장 효율적인 경로를 선택한다" — 물체가 이동할 때 작용(Action)이라는 물리량을 최소화하는 경로를 따라 움직인다는 현대 물리학의 가장 보편적인 기본 원리.
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## 매 한 줄
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> **"매 Nature 의 action S 의 stationary 의 path 의 select"**. Maupertuis(1744) → Lagrange → Hamilton 의 발전 의 매 classical/quantum/field theory 의 unified backbone — 매 modern ML 의 neural ODEs / Hamiltonian networks 의 기반.
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## 📖 구조화된 지식 (Synthesized Content)
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- **추출된 패턴:** 복잡한 운동 방정식(F=ma 등)을 일일이 계산하는 대신, 전체 시스템의 에너지 균형을 나타내는 '작용'을 최적화(Optimization)하여 시스템의 거동을 예측하는 패턴.
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- **세부 내용:**
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- **Lagrangian ($L = T - V$):** 운동 에너지($T$)와 위치 에너지($V$)의 차이. 시스템의 상태를 정의.
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- **Action ($S$):** 라그랑지안을 시간에 대해 적분한 값. 이 값이 최소가 되는 경로가 실제 물리적 경로임.
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- **Hamilton's Principle:** 고전 역학뿐만 아니라 전자기학, 상대성 이론, 양자 역학까지 관통하는 통합 원리.
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- **Variational Calculus:** 함수를 입력으로 받아 수치를 출력하는 '범함수'의 최적값을 찾는 수학적 도구.
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## 매 핵심
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## ⚠️ 모순 및 업데이트 (Contradictions & Updates)
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- **과거 데이터와의 충돌:** 개별 힘의 상호작용에 집중하던 뉴턴 역학에서, 시스템 전체의 에너지 효율과 최적화 관점으로 물리학의 패러다임을 전환.
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- **정책 변화:** Antigravity 프로젝트의 에이전트 경로 최적화 및 물리 시뮬레이션 엔진 설계 시, 최소 작용의 원리를 응용하여 계산 비용을 최소화하는 최적 경로를 산출함.
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### 매 정의
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- **Action**: S[q] = ∫ L(q, q̇, t) dt, 매 L = T − V (Lagrangian).
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- **Stationary**: δS = 0 (not 항상 minimum — 매 stationary point).
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- **Euler-Lagrange**: d/dt (∂L/∂q̇) − ∂L/∂q = 0.
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- **Hamiltonian**: H(q,p) = p·q̇ − L; 매 q̇ = ∂H/∂p, ṗ = −∂H/∂q.
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## 🔗 지식 연결 (Graph)
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- [[Optimization|Optimization]], [[Physics-informed-Neural-Networks|Physics-Informed-Neural-Networks]], Differential-Equations, Calculus-for-ML
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- **Raw Source:** 10_Wiki/Topics/AI/Principle-of-Least-Action.md
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### 매 형식
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- **Lagrangian (q, q̇)**: 매 generalized coords 의 자연.
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- **Hamiltonian (q, p)**: 매 phase-space 의 symplectic structure.
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- **Path Integral (Feynman)**: 매 amplitude = ∫ Dq exp(iS/ℏ) — 매 quantum extension.
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## 🤖 LLM 활용 힌트 (How to Use This Knowledge)
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### 매 응용
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1. 매 classical mechanics 의 EoM 의 derive.
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2. Optical path (Fermat) — light follows least-time.
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3. Geodesics in GR (least proper-time worldline).
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4. Symplectic ODE integrators (leapfrog).
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5. Hamiltonian Neural Networks, Lagrangian NN.
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**언제 이 지식을 쓰는가:**
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- *(TODO)*
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## 💻 패턴
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**언제 쓰면 안 되는가:**
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- *(TODO)*
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### SymPy — symbolic Euler-Lagrange (pendulum)
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```python
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import sympy as sp
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t, m, g, l = sp.symbols("t m g l", positive=True)
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q = sp.Function("q")(t)
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T = sp.Rational(1,2) * m * (l*sp.diff(q, t))**2
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V = -m*g*l*sp.cos(q)
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L = T - V
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EL = sp.diff(sp.diff(L, sp.diff(q,t)), t) - sp.diff(L, q)
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print(sp.simplify(EL)) # m*l^2*q'' + m*g*l*sin(q) = 0
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```
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## 🧪 검증 상태 (Validation)
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### Symplectic leapfrog integrator (preserves H)
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```python
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import numpy as np
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def leapfrog(q, p, dHdq, dHdp, dt, n):
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for _ in range(n):
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p = p - 0.5 * dt * dHdq(q)
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q = q + dt * dHdp(p)
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p = p - 0.5 * dt * dHdq(q)
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return q, p
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```
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- **정보 상태:** needs_review
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- **출처 신뢰도:** A
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- **검토 이유:** *(P-Reinforce Phase 1 자동 정규화. 본문 검증 필요.)*
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### JAX — automatic Lagrangian → EL residual
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```python
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import jax, jax.numpy as jnp
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def lagrangian(q, qdot):
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return 0.5*jnp.sum(qdot**2) - potential(q)
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## 🧬 중복 검사 (Duplicate Check)
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def el_residual(q, qdot, qddot):
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dL_dq = jax.grad(lagrangian, 0)(q, qdot)
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dL_dqdot = jax.grad(lagrangian, 1)(q, qdot)
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# d/dt(∂L/∂q̇) along trajectory:
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H = jax.hessian(lagrangian, argnums=(1,1))(q, qdot)
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d_dt = H @ qddot # simplified for autonomous L
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return d_dt - dL_dq
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```
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- **기존 유사 문서:** *(TODO: 인덱서 클러스터 리포트 참조)*
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- **처리 방식:** UPDATE (자동 정규화)
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- **처리 이유:** Phase 1 정규화 — 옛 템플릿/누락 필드 보강.
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### Lagrangian Neural Network (Cranmer 2020)
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```python
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# Parameterize L_θ(q,q̇) by an MLP; learn dynamics by enforcing EL eq.
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class LNN(nn.Module):
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def __call__(self, q, qdot):
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return self.mlp(jnp.concatenate([q, qdot]))
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## 🕓 변경 이력 (Changelog)
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def predicted_qddot(params, q, qdot):
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L = lambda q,qd: lnn.apply(params, q, qd)
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H_qd_qd = jax.hessian(L, 1)(q, qdot)
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grad_q = jax.grad(L, 0)(q, qdot)
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return jnp.linalg.solve(H_qd_qd, grad_q)
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```
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| 날짜 | 변경 내용 | 처리 방식 | 신뢰도 |
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|------|-----------|-----------|--------|
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| 2026-05-08 | P-Reinforce Phase 1 정규화 (frontmatter + 헤더 표준화) | UPDATE | A |
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### Hamiltonian Neural Network
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```python
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# Greydanus 2019: parameterize H_θ(q,p); use symplectic gradients.
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def hnn_dynamics(params, q, p):
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H = lambda q,p: hnn.apply(params, q, p)
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return jax.grad(H, 1)(q,p), -jax.grad(H, 0)(q,p)
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```
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### Geodesic integration (general metric)
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```python
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# Christoffel symbols Γ from g; geodesic eq: q̈^μ + Γ^μ_αβ q̇^α q̇^β = 0
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```
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## 매 결정 기준
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| 상황 | Approach |
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|---|---|
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| 매 holonomic constraints | Lagrangian (gen coords) |
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| 매 phase-space analysis / chaos | Hamiltonian |
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| 매 long-horizon energy preservation | Symplectic integrator (leapfrog, Verlet) |
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| 매 learn dynamics from data | LNN / HNN / Neural ODE |
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| 매 quantum / sum-over-paths | Path integral |
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| 매 optics / wave fronts | Fermat / eikonal form |
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**기본값**: 매 Lagrangian + EL → leapfrog symplectic integration.
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## 🔗 Graph
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- 부모: [[Optimal-Control-Theory]] · [[Variational Calculus]]
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- 변형: [[Hamilton's Equations]] · [[Path Integral Formulation]]
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- 응용: [[Hamiltonian Neural Networks]] · [[Neural ODEs]] · [[Symplectic Integrators]]
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- Adjacent: [[Noether's Theorem]] · [[General Relativity]] · [[Optimization]]
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## 🤖 LLM 활용
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**언제**: 매 conservative system 의 dynamics learn / simulate — 매 long-horizon stability 의 priority. 매 physics-informed ML.
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**언제 X**: 매 strongly dissipative / non-conservative — 매 Hamiltonian assumption 의 violate. 매 stochastic — 매 Langevin / SDE.
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## ❌ 안티패턴
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- **"Least" action 으로 misinterpret**: 매 stationary, 매 not 항상 min — 매 saddle 도 valid.
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- **Non-symplectic integrator + long horizon**: 매 energy drift.
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- **Constraints 의 ad-hoc 처리**: 매 generalized coords 또는 Lagrange multipliers 의 use.
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- **Time-dependent L 의 Hamiltonian 으로 conserve assume**: 매 ∂L/∂t ≠ 0 → H 의 not conserved.
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## 🧪 검증 / 중복
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- Verified (Goldstein *Classical Mechanics* 3e; Arnold *Mathematical Methods of CM*; Feynman Vol II).
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- 신뢰도 A.
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## 🕓 Changelog
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| 날짜 | 변경 |
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|---|---|
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| 2026-05-08 | Phase 1 |
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| 2026-05-10 | Manual cleanup — Lagrangian/Hamiltonian/symplectic + LNN/HNN modern ML link |
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Reference in New Issue
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