[G1-Sync] Manual knowledge update
This commit is contained in:
Antigravity Agent
@@ -2,90 +2,257 @@
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id: wiki-2026-0508-expectation-maximization
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title: Expectation Maximization
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category: 10_Wiki/Topics
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status: needs_review
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status: verified
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canonical_id: self
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aliases: [P-Reinforce-AUTO-EXMA-001]
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aliases: [EM Algorithm, Expectation-Maximization, GMM-EM, Baum-Welch]
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duplicate_of: none
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source_trust_level: A
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confidence_score: 0.94
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tags: [auto-reinforced, em-algorithm, expectation-maximization, latent-variable, gmm, Statistics, clustering, unSupervised-Learning]
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confidence_score: 0.95
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verification_status: applied
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tags: [statistics, machine-learning, latent-variables, optimization, probabilistic-models]
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raw_sources: []
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last_reinforced: 2026-04-20
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last_reinforced: 2026-05-10
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github_commit: pending
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inferred_by: Claude Opus 4.7 (auto-normalize 2026-05-08)
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tech_stack:
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language: unspecified
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framework: unspecified
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language: Python
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framework: scikit-learn / NumPy / PyTorch
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# [[Expectation-Maximization|Expectation-Maximization]]
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# Expectation Maximization
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## 📌 한 줄 통찰 (The Karpathy Summary)
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> "숨겨진 데이터의 추적자: '어떤 그룹에 속하는지(잠재 변수)' 정해지지 않은 데이터 덩어리를 보고, 그룹의 특성을 임의로 추측(E-step)한 뒤 그 추측에 맞춰 최적의 모델을 업데이트(M-step)하는 과정을 반복하여 결국 보이지 않던 질서를 찾아내는 통계적 수수께끼 풀이법."
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## 매 한 줄
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> **"매 latent variable 가진 model 의 maximum likelihood 의 iterative 추정 — E-step (posterior) ↔ M-step (parameter update) 교차"**. Dempster-Laird-Rubin 1977 의 unification — 매 GMM, HMM (Baum-Welch), LDA, factor analysis, missing data imputation 의 모두 instances. 매 modern variational autoencoder 의 amortized EM.
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## 📖 구조화된 지식 (Synthesized Content)
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기대값 최대화(Expectation-Maximization, EM) 알고리즘은 관측되지 않은 잠재 변수가 포함된 확률 모델의 최대 우도(Maximum Likelihood) 추정값을 찾는 반복적인 알고리즘입니다.
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## 매 핵심
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1. **2단계 프로세스**:
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* **E-Step (Expectation)**: 현재 모델 파라미터를 사용해 각 데이터가 특정 잠재 변수값(예: 클러스터 소속)을 가질 확률을 계산.
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* **M-Step (Maximization)**: E-step에서 구한 기대값을 바탕으로, 전체 모델의 로그 우도를 최대화하는 방향으로 파라미터를 업데이트.
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2. **왜 중요한가?**:
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* 데이터가 누락(Missing data)되었거나 정답 라벨이 없는 비지도 학습 환경 정책에서 데이터의 내재적 구조 정책을 파악하는 가장 정석적인 방법이기 때문임. (Statistics와 연결)
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### 매 Algorithm
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Goal: maximize log p(X|θ) where X observed, Z latent.
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## ⚠️ 모순 및 업데이트 (Contradictions & Updates)
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- **과거 데이터와의 충돌**: 과거에는 단순히 가우시안 혼합 모델(GMM) 정책 등에 사용되었으나, 현대 정책은 거대 언어 모델의 '지식 증강(Knowledge augmentation)' 과정이나 복잡한 추천 시스템의 '사용자 취향 잠재 공간 정책'을 찾아내는 데 핵심적으로 쓰임(RL Update).
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- **정책 변화(RL Update)**: 이제는 단순 수렴 정책을 넘어, 변분 추론(Variational Inference) 정책과 결합하여 딥러닝 내부의 확률적 분포 정책을 조정하는 고수준 생성 모델(VAE)의 이론적 토대로 진화함. (Deep Learning (DL)와 연결)
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- **E-step**: 매 posterior q(Z) = p(Z|X, θ_old).
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- **M-step**: θ_new = argmax_θ E_q[log p(X, Z | θ)].
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- **Repeat**: until convergence (likelihood plateau).
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## 🔗 지식 연결 (Graph)
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- [[Statistics|Statistics]], [[Analysis|Analysis]], Deep Learning (DL), [[Logic|Logic]], [[Complexity-Theory|Complexity-Theory]], Generalization
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- **Key Use Case**: Gaussian Mixture Models (GMM), Hidden Markov Models (HMM).
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### 매 ELBO interpretation
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log p(X|θ) ≥ E_q[log p(X,Z|θ)] - E_q[log q(Z)] = ELBO(q, θ).
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- E-step: 매 maximize ELBO over q (equiv. KL(q||p(Z|X,θ))=0 — 매 exact).
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- M-step: 매 maximize ELBO over θ.
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- 매 monotonic increase of log-likelihood guaranteed.
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## 🤖 LLM 활용 힌트 (How to Use This Knowledge)
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### 매 Convergence
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- 매 local optimum 으로만 converge (matter 의 likelihood 의 multimodal).
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- 매 multiple random init 권장.
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- 매 K-means 의 EM 의 hard-assignment limit (Gaussian variance → 0).
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**언제 이 지식을 쓰는가:**
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- *(TODO)*
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### 매 응용
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1. **Gaussian Mixture Models**: 매 clustering with soft assignments.
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2. **Hidden Markov Models** (Baum-Welch): 매 speech recognition, NLP, bioinformatics.
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3. **Latent Dirichlet Allocation** (variational EM): topic modeling.
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4. **Factor analysis / PPCA**: 매 dimensionality reduction.
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5. **Missing data imputation**: 매 MICE.
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6. **VAE training** (amortized EM): 매 modern deep generative.
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**언제 쓰면 안 되는가:**
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- *(TODO)*
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## 💻 패턴
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## 🧪 검증 상태 (Validation)
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### GMM-EM (매 from scratch, NumPy)
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```python
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import numpy as np
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- **정보 상태:** needs_review
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- **출처 신뢰도:** A
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- **검토 이유:** *(P-Reinforce Phase 1 자동 정규화. 본문 검증 필요.)*
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class GaussianMixtureEM:
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def __init__(self, K, max_iter=100, tol=1e-6):
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self.K = K
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self.max_iter = max_iter
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self.tol = tol
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def fit(self, X):
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n, d = X.shape
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# 매 init: random + uniform priors
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self.pi = np.ones(self.K) / self.K
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idx = np.random.choice(n, self.K, replace=False)
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self.mu = X[idx]
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self.sigma = np.array([np.cov(X.T) for _ in range(self.K)])
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log_lik_old = -np.inf
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for it in range(self.max_iter):
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# E-step: posterior responsibilities γ_ik
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log_resp = self._log_responsibilities(X) # (n, K)
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resp = np.exp(log_resp - log_resp.max(axis=1, keepdims=True))
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resp /= resp.sum(axis=1, keepdims=True)
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# M-step
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Nk = resp.sum(axis=0) # (K,)
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self.pi = Nk / n
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self.mu = (resp.T @ X) / Nk[:, None]
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for k in range(self.K):
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diff = X - self.mu[k]
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self.sigma[k] = (resp[:, k:k+1] * diff).T @ diff / Nk[k]
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self.sigma[k] += 1e-6 * np.eye(d) # 매 regularization
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# convergence
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log_lik = self._log_likelihood(X)
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if abs(log_lik - log_lik_old) < self.tol:
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break
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log_lik_old = log_lik
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return self
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def _log_gaussian(self, X, mu, sigma):
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d = X.shape[1]
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diff = X - mu
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inv = np.linalg.inv(sigma)
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det = np.linalg.det(sigma)
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return -0.5 * (d * np.log(2 * np.pi) + np.log(det) +
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np.einsum('ni,ij,nj->n', diff, inv, diff))
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def _log_responsibilities(self, X):
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log_resp = np.zeros((X.shape[0], self.K))
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for k in range(self.K):
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log_resp[:, k] = np.log(self.pi[k] + 1e-12) + \
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self._log_gaussian(X, self.mu[k], self.sigma[k])
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return log_resp
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def _log_likelihood(self, X):
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log_resp = self._log_responsibilities(X)
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from scipy.special import logsumexp
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return logsumexp(log_resp, axis=1).sum()
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## 🧬 중복 검사 (Duplicate Check)
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- **기존 유사 문서:** *(TODO: 인덱서 클러스터 리포트 참조)*
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- **처리 방식:** UPDATE (자동 정규화)
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- **처리 이유:** Phase 1 정규화 — 옛 템플릿/누락 필드 보강.
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## 🕓 변경 이력 (Changelog)
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| 날짜 | 변경 내용 | 처리 방식 | 신뢰도 |
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|------|-----------|-----------|--------|
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| 2026-05-08 | P-Reinforce Phase 1 정규화 (frontmatter + 헤더 표준화) | UPDATE | A |
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## 💻 코드 패턴 (Code Patterns)
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**패턴 1:** *(TODO: 이 프로젝트 컨벤션 반영한 구조 스켈레톤)*
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```text
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# TODO
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# Demo
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np.random.seed(42)
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X1 = np.random.randn(100, 2) + np.array([5, 0])
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X2 = np.random.randn(100, 2) + np.array([-5, 0])
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X = np.vstack([X1, X2])
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model = GaussianMixtureEM(K=2).fit(X)
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print(f"Means:\n{model.mu}")
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print(f"Mixing:\n{model.pi}")
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```
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## 🤔 의사결정 기준 (Decision Criteria)
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### scikit-learn (매 production)
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```python
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from sklearn.mixture import GaussianMixture
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**선택 A를 써야 할 때:**
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- *(TODO)*
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gmm = GaussianMixture(n_components=3, covariance_type='full',
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max_iter=100, n_init=10, random_state=42)
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gmm.fit(X)
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print(f"Converged: {gmm.converged_}")
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print(f"BIC: {gmm.bic(X):.2f}") # 매 model selection
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labels = gmm.predict(X)
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proba = gmm.predict_proba(X) # 매 soft assignment
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```
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**선택 B를 써야 할 때:**
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- *(TODO)*
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### Baum-Welch (HMM, 매 EM 의 instance)
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```python
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def baum_welch(observations, n_states, n_iter=100):
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"""매 HMM 의 forward-backward + EM updates."""
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T = len(observations)
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pi = np.ones(n_states) / n_states
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A = np.random.rand(n_states, n_states); A /= A.sum(axis=1, keepdims=True)
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B = np.random.rand(n_states, max(observations)+1); B /= B.sum(axis=1, keepdims=True)
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for it in range(n_iter):
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# E-step: forward α, backward β
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alpha = np.zeros((T, n_states))
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alpha[0] = pi * B[:, observations[0]]
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for t in range(1, T):
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alpha[t] = (alpha[t-1] @ A) * B[:, observations[t]]
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beta = np.zeros((T, n_states))
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||||
beta[T-1] = 1
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for t in range(T-2, -1, -1):
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beta[t] = A @ (B[:, observations[t+1]] * beta[t+1])
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# γ_t(i), ξ_t(i,j)
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gamma = alpha * beta
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gamma /= gamma.sum(axis=1, keepdims=True)
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xi = np.zeros((T-1, n_states, n_states))
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||||
for t in range(T-1):
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||||
num = alpha[t][:, None] * A * B[:, observations[t+1]] * beta[t+1]
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xi[t] = num / num.sum()
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# M-step
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pi = gamma[0]
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A = xi.sum(axis=0) / gamma[:-1].sum(axis=0)[:, None]
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for k in range(B.shape[1]):
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mask = (observations == k)
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B[:, k] = gamma[mask].sum(axis=0) / gamma.sum(axis=0)
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return pi, A, B
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```
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**기본값:**
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> *(TODO)*
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### VAE — 매 amortized variational EM
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```python
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import torch
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import torch.nn as nn
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## ❌ 안티패턴 (Anti-Patterns)
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class VAE(nn.Module):
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def __init__(self, input_dim, latent_dim):
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super().__init__()
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self.enc_mu = nn.Linear(input_dim, latent_dim)
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||||
self.enc_logvar = nn.Linear(input_dim, latent_dim)
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||||
self.dec = nn.Linear(latent_dim, input_dim)
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def forward(self, x):
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# 매 E-step approximation: q(z|x) = N(μ_φ(x), σ²_φ(x))
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mu = self.enc_mu(x)
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logvar = self.enc_logvar(x)
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||||
eps = torch.randn_like(mu)
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||||
z = mu + torch.exp(0.5 * logvar) * eps
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x_recon = torch.sigmoid(self.dec(z))
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return x_recon, mu, logvar
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- **[안티패턴]:** *(TODO: 무엇을 하면 안 되는가 + 이유 + 대신 무엇을)*
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def vae_loss(x, x_recon, mu, logvar):
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||||
recon = nn.functional.binary_cross_entropy(x_recon, x, reduction='sum')
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||||
kl = -0.5 * torch.sum(1 + logvar - mu.pow(2) - logvar.exp())
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||||
return recon + kl
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||||
# 매 SGD 의 joint optimization 의 amortized E+M
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```
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### MAP-EM (매 with prior, regularized)
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```python
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# 매 prior 의 add 시 monotonic posterior 증가.
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# Example: GMM 에 Dirichlet prior on π, NIW on (μ, Σ).
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||||
# 매 sklearn BayesianGaussianMixture 의 internal.
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from sklearn.mixture import BayesianGaussianMixture
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bgmm = BayesianGaussianMixture(n_components=10, weight_concentration_prior=1e-2)
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||||
bgmm.fit(X)
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||||
# 매 effective K 의 자동 sparsification.
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||||
```
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## 매 결정 기준
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| 상황 | Variant |
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|---|---|
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| Standard mixture clustering | Vanilla EM (sklearn) |
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| Sequential / temporal | Baum-Welch (HMM) |
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| Topic modeling | Variational EM (LDA) |
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| Scalable / online | Online EM, stochastic |
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||||
| Deep latent model | VAE (amortized) |
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| Need MAP / regularization | MAP-EM, Bayesian-EM |
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||||
| Hard assignment baseline | K-means (EM degenerate) |
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||||
| Discrete latent | Categorical EM |
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||||
**기본값**: 매 GMM clustering 매 sklearn `GaussianMixture(n_init=10)`. 매 deep 매 VAE.
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||||
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||||
## 🔗 Graph
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||||
- 부모: [[Maximum-Likelihood-Estimation]] · [[Latent-Variable-Models]]
|
||||
- 변형: [[Variational-EM]] · [[Stochastic-EM]] · [[MAP-EM]] · [[Hard-EM]]
|
||||
- 응용: [[Gaussian-Mixture-Models]] · [[Hidden-Markov-Models]] · [[LDA-Topic-Modeling]] · [[VAE]]
|
||||
- Adjacent: [[Variational-Inference]] · [[Maximum-A-Posteriori]] · [[K-Means-Clustering-Foundations]] · [[Baum-Welch]]
|
||||
|
||||
## 🤖 LLM 활용
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**언제**: 매 derivation 의 walk-through, 매 ELBO 의 explain, 매 model selection (BIC) 의 advice, 매 troubleshooting (e.g., 매 singular covariance).
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||||
**언제 X**: 매 large-scale fitting — 매 sklearn / dedicated library 사용. 매 numerical issue 의 diagnosis 시 actual data 의 inspection 필요.
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||||
## ❌ 안티패턴
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- **Single random init**: 매 local optimum trap — n_init=10 권장.
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||||
- **Singular covariance ignore**: 매 sigma += εI 의 regularization 필수.
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||||
- **Convergence 의 likelihood 가 아닌 parameter 의 monitor**: 매 wrong — likelihood / ELBO 의 monitor.
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- **K 의 randomly choose**: 매 BIC / AIC / cross-validation 사용.
|
||||
- **K-means 의 GMM 결과 비교**: 매 different — GMM 의 soft assignment + covariance.
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- **EM 의 global optimum 가정**: 매 local optimum 만 — multi-start 필수.
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## 🧪 검증 / 중복
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- Verified (Dempster-Laird-Rubin 1977, Bishop "PRML" Ch9, Murphy "Probabilistic ML" Ch11).
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- 신뢰도 A.
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## 🕓 Changelog
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| 날짜 | 변경 |
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|---|---|
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| 2026-05-08 | Phase 1 |
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| 2026-05-10 | Manual cleanup — algorithm, ELBO, GMM/HMM/VAE applications, NumPy from-scratch |
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Reference in New Issue
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