[G1-Sync] Manual knowledge update

10_Wiki/Topics/Computer_Science_and_Theory/Axiomatic-Systems.md

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 id: wiki-2026-0508-axiomatic-systems
 title: Axiomatic Systems
 category: 10_Wiki/Topics
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+aliases: [Axiomatic Method, Formal Systems, Deductive Systems]
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+tags: [logic, foundations, formal-methods, proof, type-theory]
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-last_reinforced: 2026-04-20
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-inferred_by: Claude Opus 4.7 (auto-normalize 2026-05-08)
+tech_stack:
+  language: Lean/Coq/Agda
+  framework: Lean4/mathlib
 ---
 
-# [[Axiomatic-Systems|Axiomatic-Systems]]
+# Axiomatic Systems
 
-## 📌 한 줄 통찰 (The Karpathy Summary)
-> "가장 밑바닥부터 쌓아 올린 논리의 성벽: 증명 없이 참으로 받아들이는 몇 가지 '공리'에서 시작하여, 엄격한 추론 규칙만을 사용해 복잡한 정리들을 무결하게 도출해내는 지식 최상위의 연역 체계."
+## 매 한 줄
+> **"매 finite axiom + inference rule → 매 derivable theorem."**. Axiomatic system 의 Euclid (BC 300) → Hilbert (1899 Grundlagen) → Gödel (incompleteness 1931) → 매 2026 의 Lean 4 + mathlib (200k+ formalized theorems, 매 working math 의 formal redo) + LLM-augmented proof assistant (Anthropic Claude / DeepMind AlphaProof).
 
-## 📖 구조화된 지식 (Synthesized Content)
-공리계(Axiomatic-Systems)는 소수의 근본 원리([[Axioms|Axioms]])로부터 모든 지식을 논리적으로 끌어내는 체계화된 이론적 구조입니다. 에우클레이데스의 기하학이 대표적 예시입니다.
+## 매 핵심
 
-1.  **3대 건전성 요건**:
-    *   **Consistency (일관성)**: 체계 내에서 서로 모순되는 두 명제가 동시에 참이 될 수 없음.
-    *   **Independence (독립성)**: 한 공리가 다른 공리들로부터 도출될 수 없어야 함 (최소한의 원칙).
-    *   **Completeness (완전성)**: 해당 영역의 모든 참인 명제를 체계 내에서 증명할 수 있어야 함 (괴델의 불완전성 정리에 의해 한계 노출).
-2.  **구조주의적 연결**:
-    *   개별 사실보다 그 사실들을 엮어주는 '관계의 규칙(공리)'이 시스템의 본질을 결정함 (Structuralism과 연결).
+### 매 Components
+- **Primitive symbols / vocabulary**.
+- **Axioms**: unproved starting propositions.
+- **Inference rules** (modus ponens, generalization).
+- **Theorems**: derivable from axioms via rules.
+- **Models / interpretations**.
 
-## ⚠️ 모순 및 업데이트 (Contradictions & Updates)
-- **과거 데이터와의 충돌**: 과거에는 모든 지식을 공리화할 수 있다는 '힐베르트 서약' 정책이 우세했으나, 현대의 불완전성 정비 정책은 체계 내부에 증명 불가능한 영역이 존재함을 인정하고 유연한 보완 정책을 취함(RL Update).
-- **정책 변화(RL Update)**: 소프트웨어 무결성 검증 정책에서, 코드를 공리적 시스템으로 변환하여 오류가 없음을 수학적으로 확증하는 '형식 검증(Formal Verification) 정책'이 하이-리스크 시스템의 핵심 표준이 됨.
+### 매 Properties
+- **Consistency**: 매 contradiction 의 X (¬(P ∧ ¬P) provable).
+- **Completeness**: every true (in model) statement provable.
+- **Decidability**: algorithm to determine theoremhood.
+- **Soundness**: only true things provable.
+- **Independence**: 매 axiom 의 not derivable from others.
+- **Categoricity**: all models isomorphic.
 
-## 🔗 지식 연결 (Graph)
-- [[Axioms|Axioms]], [[Logic|Logic]], [[Structuralism|Structuralism]], [[Automated-Reasoning|Automated-Reasoning]], [[Safety & Reliability|Safety & Reliability]]
-- **Modern Tech/Tools**: TLA+ (Formal [[Specification|Specification]]), Mathematical proof assistants.
----
+### 매 Famous Systems
+- **Euclidean geometry**: 5 postulates (parallel postulate independent → non-Euclidean).
+- **Peano arithmetic (PA)**: natural numbers; incomplete (Gödel).
+- **ZFC set theory**: foundation of most math; CH independent (Cohen).
+- **Group / ring / field**: abstract algebra.
+- **Hilbert system / Natural deduction / Sequent calculus**: proof formalisms.
+- **Type theory** (Martin-Löf, Calculus of Constructions): foundation for Coq/Lean/Agda.
 
-## 🤖 LLM 활용 힌트 (How to Use This Knowledge)
+### 매 2026 Computational
+- **Lean 4 + mathlib**: rapid formalization (Tao's PFR, Gowers).
+- **Coq**: CompCert verified compiler, 4-color theorem.
+- **Isabelle**: seL4 microkernel.
+- **AlphaProof / Claude proof**: LLM + Lean tactic search.
 
-**언제 이 지식을 쓰는가:**
-- *(TODO)*
+### 매 응용
+1. Math research (formalized proof).
+2. Formal verification (CompCert, seL4, AWS s2n).
+3. Cryptographic protocol proof (EasyCrypt, F*).
+4. Smart contract verification.
 
-**언제 쓰면 안 되는가:**
-- *(TODO)*
+## 💻 패턴
 
-## 🧪 검증 상태 (Validation)
+### Pattern 1 — Lean 4: prove a + 0 = a
 
-- **정보 상태:** needs_review
-- **출처 신뢰도:** A
-- **검토 이유:** *(P-Reinforce Phase 1 자동 정규화. 본문 검증 필요.)*
+```lean
+theorem add_zero (a : Nat) : a + 0 = a := by
+  induction a with
+  | zero => rfl
+  | succ n ih => simp [Nat.add_succ, ih]
+```
 
-## 🧬 중복 검사 (Duplicate Check)
+### Pattern 2 — Coq: list reversal involutive
 
-- **기존 유사 문서:** *(TODO: 인덱서 클러스터 리포트 참조)*
-- **처리 방식:** UPDATE (자동 정규화)
-- **처리 이유:** Phase 1 정규화 — 옛 템플릿/누락 필드 보강.
+```coq
+Theorem rev_involutive : forall (A : Type) (l : list A),
+  rev (rev l) = l.
+Proof.
+  induction l as [| x xs IH].
+  - reflexivity.
+  - simpl. rewrite rev_app_distr. simpl. rewrite IH. reflexivity.
+Qed.
+```
 
-## 🕓 변경 이력 (Changelog)
+### Pattern 3 — Agda: dependent type proof
 
-| 날짜 | 변경 내용 | 처리 방식 | 신뢰도 |
-|------|-----------|-----------|--------|
-| 2026-05-08 | P-Reinforce Phase 1 정규화 (frontmatter + 헤더 표준화) | UPDATE | A |
+```agda
+data ℕ : Set where
+  zero : ℕ
+  suc  : ℕ → ℕ
+
+_+_ : ℕ → ℕ → ℕ
+zero  + n = n
+suc m + n = suc (m + n)
+
++-identity : (n : ℕ) → n + zero ≡ n
++-identity zero    = refl
++-identity (suc n) = cong suc (+-identity n)
+```
+
+### Pattern 4 — Hilbert-style propositional proof
+
+```
+1. P → (Q → P)                   axiom K
+2. (P → (Q → R)) → ((P → Q) → (P → R))   axiom S
+3. P                              hypothesis
+4. Q → P                          MP 1, 3
+```
+
+### Pattern 5 — LLM-assisted proof (Lean tactic suggestion)
+
+```python
+def llm_tactic(goal_state):
+    return claude.complete(f"""You are a Lean 4 proof assistant.
+Given goal:
+{goal_state}
+Suggest one tactic step. Output only the tactic.""")
+```
+
+## 매 결정 기준
+
+| 상황 | Approach |
+|---|---|
+| Math formalization | Lean 4 + mathlib |
+| Verified compiler / OS | Coq (CompCert, seL4) |
+| Type-theory research | Agda / Lean |
+| Crypto protocol | EasyCrypt / F* |
+| Quick logical sketch | Hilbert-style on paper |
+| LLM-augmented | Lean + Claude tactic search |
+
+**기본값**: Lean 4 for new formalization, Coq for legacy verified systems.
+
+## 🔗 Graph
+- 부모: [[Mathematical-Logic]] · [[Foundations-of-Mathematics]]
+- 변형: [[Type-Theory]] · [[Set-Theory]] · [[Natural-Deduction]]
+- 응용: [[Formal-Verification]] · [[Theorem-Proving]] · [[Smart-Contract-Verification]]
+- Adjacent: [[Godel-s-Incompleteness-Theorems]] · [[Curry-Howard]] · [[Theoretical-Computer-Science]]
+
+## 🤖 LLM 활용
+**언제**: tactic suggestion, lemma name search in mathlib, proof sketch translation, error diagnosis.
+**언제 X**: producing final certificate without check (use proof assistant), informal-only "proof" claims.
+
+## ❌ 안티패턴
+- **Inconsistent axioms**: explosion (anything provable).
+- **Hidden axiom of choice**: constructivism violation in proof claimed constructive.
+- **Tactic blob without lemma factor**: maintenance nightmare.
+- **No model check**: theorem 의 vacuous (no model).
+
+## 🧪 검증 / 중복
+- Verified (Lean 4 docs, mathlib4, Hilbert "Grundlagen", Mendelson "Intro to Math Logic").
+- 신뢰도 A.
+
+## 🕓 Changelog
+| 날짜 | 변경 |
+|---|---|
+| 2026-05-08 | Phase 1 |
+| 2026-05-10 | Manual cleanup — FULL content (Lean/Coq/Agda, 5 patterns) |