[G1-Sync] Manual knowledge update
This commit is contained in:
Antigravity Agent
@@ -2,88 +2,139 @@
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id: wiki-2026-0508-matrix-operations-and-ai
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title: Matrix Operations and AI
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category: 10_Wiki/Topics
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status: needs_review
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status: verified
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canonical_id: self
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aliases: [MATH-MATRIX-OPS-001]
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aliases: [Matrix Ops, MatMul, GEMM, Tensor Ops]
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duplicate_of: none
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source_trust_level: A
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confidence_score: 1.0
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tags: [math, ai, Deep-Learning, matrix-Operations, gpu-computing, Linear-Algebra]
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confidence_score: 0.9
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verification_status: applied
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tags: [ai, ml, math, linear-algebra, gpu, performance]
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raw_sources: []
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last_reinforced: 2026-04-26
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last_reinforced: 2026-05-10
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github_commit: pending
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inferred_by: Claude Opus 4.7 (auto-normalize 2026-05-08)
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tech_stack:
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language: unspecified
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framework: unspecified
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tech_stack: { language: python, framework: pytorch-numpy-jax }
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# Matrix Operations and AI (행렬 연산과 AI)
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# Matrix Operations and AI
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## 📌 한 줄 통찰 (The Karpathy Summary)
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> "복잡한 사고의 과정을 거대한 숫자의 행렬 연산으로 치환하여, 병렬 연산의 압도적 속도로 지능을 구현하라" — 신경망의 순전파(Forward)와 역전파(Backward) 과정에서 발생하는 수조 번의 데이터 변환을 행렬의 곱셈과 덧셈으로 통합하여 처리하는 AI의 물리적 실체.
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## 매 한 줄
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> **"매 모델은 결국 행렬 곱이다"**. Transformer/CNN/RNN 모두 GEMM(General Matrix Multiply) 호출의 그래프이고, 성능은 BLAS·cuBLAS·Tensor Core 활용도로 결정된다.
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## 📖 구조화된 지식 (Synthesized Content)
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- **추출된 패턴:** "Parallel Data Transformation" — 개별 데이터를 하나씩 처리하는 대신, 수천 개의 데이터를 하나의 행렬로 묶어([[Batching|Batching]]) 동시에 연산함으로써 CPU의 순차 처리를 넘어 GPU의 병렬 처리 잠재력을 극대화하는 패턴.
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- **핵심 연산:**
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- **Matrix Multiplication (Dot Product):** 입력 데이터와 가중치 사이의 상호작용을 계산하여 특징을 추출하는 가장 빈번한 연산.
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- **Element-wise Operations:** 활성화 함수 적용 시 각 요소별로 독립적인 연산 수행.
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- **Transpose & Inverse:** 역전파 과정에서 오차의 흐름을 계산하거나 최적해를 도출하기 위한 필수 도구.
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- **의의:** 행렬 연산의 효율화(XLA, CUDA 최적화 등)가 곧 최신 AI 모델의 규모와 성능을 결정짓는 가장 실질적인 기술적 병목이자 경쟁력.
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## 매 핵심
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### 매 핵심 연산
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- **MatMul (GEMM)**: `C = A @ B`. FLOPs = 2·M·N·K. 모든 dense layer의 본질.
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- **Element-wise**: ReLU, add, multiply. Memory-bound.
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- **Reduction**: sum/mean/max. Softmax, LayerNorm 핵심.
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- **Broadcasting**: shape 자동 확장 (NumPy/PyTorch convention).
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- **Einsum**: `einsum('bij,bjk->bik')` - batched matmul 표현.
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## ⚠️ 모순 및 업데이트 (Contradictions & Updates)
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- **과거 데이터와의 충돌:** 단순히 수학적 정의에 충실하던 단계를 지나, 이제는 메모리 대역폭과 캐시 효율을 고려한 '하드웨어 친화적 행렬 연산' 설계가 딥러닝 프레임워크의 핵심 경쟁력이 됨.
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- **정책 변화:** Antigravity 프로젝트는 대규모 벡터 검색 및 임베딩 연산 시, 행렬 연산의 병렬성을 극대화할 수 있는 배치 크기와 데이터 정렬 방식을 채택하여 추론 지연 시간을 최소화함.
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### 매 응용
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1. **Attention**: `softmax(QK^T / √d) V` - 4번의 matmul.
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2. **Conv2d**: im2col로 matmul로 변환하거나 Winograd/FFT.
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3. **Embedding lookup**: sparse matmul (one-hot @ W).
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4. **LayerNorm/RMSNorm**: reduction + element-wise.
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5. **Mixture of Experts**: grouped matmul (분산 라우팅).
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## 🔗 지식 연결 (Graph)
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- [[Linear-Algebra-Foundations|Linear-Algebra-Foundations]], [[GPU-Architecture|GPU-Architecture]]-for-AI, [[JIT-Compilation-in-AI-Engines|JIT-Compilation-in-AI-Engines]], Deep-Learning-Foundations
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- **Raw Source:** 10_Wiki/Topics/AI/Matrix-Operations-and-AI.md
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## 💻 패턴
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## 🤖 LLM 활용 힌트 (How to Use This Knowledge)
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**언제 이 지식을 쓰는가:**
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- *(TODO)*
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**언제 쓰면 안 되는가:**
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- *(TODO)*
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## 🧪 검증 상태 (Validation)
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- **정보 상태:** needs_review
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- **출처 신뢰도:** A
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- **검토 이유:** *(P-Reinforce Phase 1 자동 정규화. 본문 검증 필요.)*
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## 🧬 중복 검사 (Duplicate Check)
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- **기존 유사 문서:** *(TODO: 인덱서 클러스터 리포트 참조)*
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- **처리 방식:** UPDATE (자동 정규화)
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- **처리 이유:** Phase 1 정규화 — 옛 템플릿/누락 필드 보강.
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## 🕓 변경 이력 (Changelog)
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| 날짜 | 변경 내용 | 처리 방식 | 신뢰도 |
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| 2026-05-08 | P-Reinforce Phase 1 정규화 (frontmatter + 헤더 표준화) | UPDATE | A |
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## 💻 코드 패턴 (Code Patterns)
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**패턴 1:** *(TODO: 이 프로젝트 컨벤션 반영한 구조 스켈레톤)*
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```text
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# TODO
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### Pattern 1 — Basic MatMul (PyTorch)
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```python
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import torch
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A = torch.randn(128, 256, device='cuda')
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B = torch.randn(256, 512, device='cuda')
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C = A @ B # or torch.matmul(A, B)
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# Batched: (B, M, K) @ (B, K, N) -> (B, M, N)
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```
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## 🤔 의사결정 기준 (Decision Criteria)
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### Pattern 2 — Einsum (명시적)
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```python
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# Attention scores: batch, heads, seq_q, seq_k
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scores = torch.einsum('bhqd,bhkd->bhqk', Q, K)
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# 명시적이라 transpose 실수 방지
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```
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**선택 A를 써야 할 때:**
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- *(TODO)*
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### Pattern 3 — Broadcasting 주의
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```python
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a = torch.randn(32, 1, 128)
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b = torch.randn(1, 64, 128)
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c = a + b # (32, 64, 128) — shape mismatch 시 silent bug
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```
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||||
**선택 B를 써야 할 때:**
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- *(TODO)*
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### Pattern 4 — Mixed Precision (Tensor Core)
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```python
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with torch.autocast('cuda', dtype=torch.bfloat16):
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out = model(x) # GEMM은 bf16, accumulate는 fp32
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# A100/H100에서 2-8배 throughput
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```
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**기본값:**
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> *(TODO)*
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||||
### Pattern 5 — Fused Kernel (FlashAttention)
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```python
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from torch.nn.functional import scaled_dot_product_attention
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out = scaled_dot_product_attention(Q, K, V, is_causal=True)
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# Q@K^T → softmax → @V를 SRAM에서 한 번에 (HBM 왕복 제거)
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```
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## ❌ 안티패턴 (Anti-Patterns)
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### Pattern 6 — Memory Layout (contiguous)
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```python
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x = x.transpose(1, 2).contiguous() # stride 재배치
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# Non-contiguous matmul은 성능 급락
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```
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- **[안티패턴]:** *(TODO: 무엇을 하면 안 되는가 + 이유 + 대신 무엇을)*
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### Pattern 7 — torch.compile (kernel fusion)
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```python
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@torch.compile
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def block(x): return F.gelu(x @ W1) @ W2
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# Inductor가 element-wise를 GEMM 주변에 fuse
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```
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### Pattern 8 — JAX/XLA
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```python
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import jax.numpy as jnp
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@jax.jit
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def fwd(x, W): return jnp.einsum('bd,dk->bk', x, W)
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```
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## 매 결정 기준
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| 상황 | Approach |
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|---|---|
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| 표준 dense layer | `nn.Linear` (cuBLAS GEMM) |
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| 복잡한 contraction | `einsum` (가독성) |
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| Attention | `scaled_dot_product_attention` (FlashAttn) |
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| 작은 batch / inference | mixed precision + compile |
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| Custom op | Triton 또는 CUDA kernel |
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| 분산 학습 | tensor parallel (megatron-style) |
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**기본값**: PyTorch 2.x + bf16 + `torch.compile` + FlashAttention.
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## 🔗 Graph
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- 부모: [[Linear-Algebra]], [[Deep-Learning]]
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- 변형: [[Tensor-Operations]], [[Einsum]], [[Sparse-Matrices]]
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- 응용: [[Attention-Mechanism]], [[Convolution]], [[Transformer]]
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- Adjacent: [[GPU-Architecture]], [[CUDA-Programming]], [[Memory-Hierarchy]], [[FlashAttention]], [[Mixed-Precision-Training]]
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## 🤖 LLM 활용
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**언제**:
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- Einsum 표기 작성/디버깅 (shape mismatch 검증).
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- Custom matmul 변형 → Triton 코드 초안.
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- Memory-bound vs compute-bound 분석 결정.
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**언제 X**:
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- 정확한 FLOPs/메모리 측정 (실측 도구 사용).
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- 최신 cuBLAS/cutlass 튜닝 파라미터.
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## ❌ 안티패턴
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- Python loop로 matmul (`for i in range: C[i] = ...`) — 1000배 느림.
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- Non-contiguous tensor에 matmul 반복.
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- fp32만 고집 (Tensor Core 미사용).
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- Broadcasting 의도하지 않은 곳에서 발생.
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- 작은 matmul 다수 호출 (kernel launch overhead).
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## 🧪 검증 / 중복
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- Verified. PyTorch 2.5/CUDA 12.x 기준. 신뢰도 A.
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## 🕓 Changelog
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| 날짜 | 변경 |
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|---|---|
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| 2026-05-08 | Phase 1 |
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| 2026-05-10 | Manual cleanup |
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Reference in New Issue
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