[G1-Sync] Manual knowledge update
This commit is contained in:
Antigravity Agent
@@ -2,90 +2,127 @@
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id: wiki-2026-0508-markov-chains
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title: Markov Chains
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category: 10_Wiki/Topics
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status: needs_review
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status: verified
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canonical_id: self
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aliases: [P-Reinforce-AUTO-MACH-001]
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aliases: [Markov Chain, MC, Markov Process, Discrete-Time Markov Chain, DTMC]
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duplicate_of: none
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source_trust_level: A
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confidence_score: 0.97
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tags: [auto-reinforced, markov-chains, probability, stochastic-process, prediction, mathematics]
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confidence_score: 0.95
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verification_status: applied
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tags: [probability, stochastic-process, markov, mcmc, hmm, pagerank, statistics]
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raw_sources: []
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last_reinforced: 2026-04-20
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last_reinforced: 2026-05-10
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github_commit: pending
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inferred_by: Claude Opus 4.7 (auto-normalize 2026-05-08)
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tech_stack:
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language: unspecified
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framework: unspecified
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tech_stack: { language: python, framework: numpy|scipy|pymc }
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# [[Markov-Chains|Markov-Chains]]
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# Markov Chains
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## 📌 한 줄 통찰 (The Karpathy Summary)
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> "과거는 잊고 현재만 보라: 다음 상태가 오직 '현재 상태'에 의해서만 결정된다는 무기억성([[memory|memory]]less)의 원리 위에, 수많은 가능성 사이를 확률적으로 이동하며 미래의 흐름을 예측하는 수학적 사슬."
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> 한 줄: "미래는 현재에만 의존" (memoryless) — 상태 전이 확률 행렬로 표현되는 확률 과정. PageRank·MCMC·HMM의 수학적 토대.
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## 📖 구조화된 지식 (Synthesized Content)
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마르코프 연쇄(Markov-Chains)는 확률 변수가 시간에 따라 변화하는 확률 과정 중 하나입니다.
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## 핵심
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- **Markov property**: P(X_{t+1} | X_t, X_{t-1}, ...) = P(X_{t+1} | X_t). 과거 무관, 현재만.
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- **Transition matrix P**: 행 합 = 1 (right stochastic). P[i][j] = i→j 확률.
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- **Stationary distribution π**: πP = π. 충분히 오래 돌리면 수렴하는 분포 (ergodic 가정).
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- **분류**: irreducible (모든 상태 도달), aperiodic (주기 없음), recurrent vs transient. 둘 다 만족 → ergodic → unique π.
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- **Continuous-time (CTMC)**: rate matrix Q, e^{Qt}로 t-step 분포. queueing/생존분석.
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1. **핵심 원리 (Markov Property)**:
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* 과거의 이력이 어떠했든, 현재의 상태([[State|State]])가 주어지면 미래는 과거와 독립적으로 결정됨.
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* **Transition Matrix**: 상태 A에서 상태 B로 이동할 확률들을 모아놓은 행렬. ([[Linear-Algebra|Linear-Algebra]]와 연결)
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2. **왜 중요한가?**:
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* 날씨 예측, 주식 시장의 흐름 분석, 그리고 구글 검색 엔진의 '페이지랭크' 알고리즘 등 복잡한 시스템의 확률적 거동을 설명하는 가장 강력한 도구이기 때문임. ([[Logic|Logic]]와 연결)
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## 결정 기준
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| 문제 | 도구 | 비고 |
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|---|---|---|
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| 정상 분포 계산 | π = left eigenvector of P (eigval=1) | `scipy.linalg.eig` |
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| 큰 sparse P | power iteration | PageRank 방식 |
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| 사후분포 샘플링 | MCMC (Metropolis-Hastings, Gibbs) | PyMC, Stan, NumPyro |
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| 숨은 상태 추론 | HMM (Forward-Backward, Viterbi) | hmmlearn |
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| 강화학습 | MDP (action 추가) | gymnasium, stable-baselines3 |
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| 시퀀스 생성(텍스트) | n-gram MC | 단순 baseline, LLM에 밀림 |
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## ⚠️ 모순 및 업데이트 (Contradictions & Updates)
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- **과거 데이터와의 충돌**: 과거에는 단순한 통계 모델 정책이었으나, 현대 정책은 LLM이 단어를 생성할 때 '이전 단어로부터 다음 단어의 확률 정책'을 도출하는 행위 자체가 고도의 비선형적 마르코프 과정 정책으로 해석됨(RL Update). ([[Large Language Models (LLM)|Large Language Models (LLM)]]와 연결)
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- **정책 변화(RL Update)**: 단순히 다음 상태를 맞히는 정책을 넘어, 보상을 최대화하기 위한 행동 선택까지 포함하는 '마르코프 결정 과정(MDP) 정책'으로 확장되어 강화 학습의 뼈대가 됨.
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## 💻 패턴
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## 🔗 지식 연결 (Graph)
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- [[Logic|Logic]], [[Linear-Algebra|Linear-Algebra]], [[Large Language Models (LLM)|Large Language Models (LLM)]], [[Inferential-Statistics|Inferential-Statistics]], [[Markov-Decision-Processes|Markov-Decision-Processes]]
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- **Modern Tech/Tools**: PageRank algorithm, Monte Carlo Markov Chain (MCMC), Sequence modeling.
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## 🤖 LLM 활용 힌트 (How to Use This Knowledge)
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**언제 이 지식을 쓰는가:**
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- *(TODO)*
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**언제 쓰면 안 되는가:**
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- *(TODO)*
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## 🧪 검증 상태 (Validation)
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- **정보 상태:** needs_review
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- **출처 신뢰도:** A
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- **검토 이유:** *(P-Reinforce Phase 1 자동 정규화. 본문 검증 필요.)*
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## 🧬 중복 검사 (Duplicate Check)
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- **기존 유사 문서:** *(TODO: 인덱서 클러스터 리포트 참조)*
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- **처리 방식:** UPDATE (자동 정규화)
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- **처리 이유:** Phase 1 정규화 — 옛 템플릿/누락 필드 보강.
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## 🕓 변경 이력 (Changelog)
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| 날짜 | 변경 내용 | 처리 방식 | 신뢰도 |
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| 2026-05-08 | P-Reinforce Phase 1 정규화 (frontmatter + 헤더 표준화) | UPDATE | A |
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## 💻 코드 패턴 (Code Patterns)
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**패턴 1:** *(TODO: 이 프로젝트 컨벤션 반영한 구조 스켈레톤)*
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```text
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# TODO
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### Transition matrix & 정상 분포
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```python
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import numpy as np
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P = np.array([[0.7, 0.2, 0.1],
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[0.3, 0.4, 0.3],
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[0.2, 0.3, 0.5]])
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# Method 1: eigenvector
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w, v = np.linalg.eig(P.T)
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pi = np.real(v[:, np.isclose(w, 1)].flatten()); pi /= pi.sum()
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# Method 2: power iteration (sparse-friendly)
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x = np.ones(3) / 3
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for _ in range(1000): x = x @ P
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print(pi, x) # 동일
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```
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## 🤔 의사결정 기준 (Decision Criteria)
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### Simulation
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```python
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def simulate(P, x0, T, rng=np.random.default_rng(0)):
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states = [x0]
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||||
for _ in range(T):
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states.append(rng.choice(len(P), p=P[states[-1]]))
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||||
return states
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```
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**선택 A를 써야 할 때:**
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- *(TODO)*
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### PageRank
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```python
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def pagerank(M, d=0.85, tol=1e-8):
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n = M.shape[0]
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r = np.ones(n) / n
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teleport = np.ones(n) / n
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while True:
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r_new = d * (M.T @ r) + (1 - d) * teleport
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||||
if np.linalg.norm(r_new - r, 1) < tol: return r_new
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r = r_new
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```
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**선택 B를 써야 할 때:**
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- *(TODO)*
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### Metropolis-Hastings (MCMC)
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```python
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def metropolis(log_p, x0, n=10000, sigma=1.0, rng=np.random.default_rng()):
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||||
samples = [x0]; x = x0
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||||
for _ in range(n):
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x_prop = x + rng.normal(scale=sigma)
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||||
if np.log(rng.random()) < log_p(x_prop) - log_p(x):
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||||
x = x_prop
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||||
samples.append(x)
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||||
return np.array(samples)
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```
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||||
**기본값:**
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> *(TODO)*
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### Hidden Markov Model
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```python
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from hmmlearn import hmm
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model = hmm.GaussianHMM(n_components=3, covariance_type="diag", n_iter=100)
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model.fit(X) # Baum-Welch
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states = model.predict(X) # Viterbi
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log_prob = model.score(X) # Forward
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```
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## ❌ 안티패턴 (Anti-Patterns)
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### Mean first passage time
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```python
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def mean_first_passage(P, target):
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n = len(P); Q = np.delete(np.delete(P, target, 0), target, 1)
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||||
return np.linalg.solve(np.eye(n-1) - Q, np.ones(n-1))
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||||
```
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- **[안티패턴]:** *(TODO: 무엇을 하면 안 되는가 + 이유 + 대신 무엇을)*
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## 🔗 Graph
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- 상위: [[Probability]] · [[Stochastic-Processes]]
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- 관련: [[MCMC]] · [[Hidden-Markov-Models]] · [[PageRank]] · [[MDP]] · [[Reinforcement-Learning]] · [[Bayesian-Inference]]
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||||
- 응용: [[NLP-N-Gram]] · [[Queueing-Theory]]
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## 🤖 LLM 활용
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- LLM에게 transition matrix 입력 → 정상 분포·mixing time 해석 부탁 가능. 단, 수치 계산은 NumPy로 검증.
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- "내 도메인 문제를 MC로 모델링 가능한가?" 프레이밍에 LLM 유용 (state space 설계).
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## ❌ 안티패턴
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- **Markov property 위반 데이터에 MC 적용** — 장기 의존 → HMM/RNN/Transformer 고려.
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- **Ergodicity 미확인 정상 분포** — reducible/주기 그래프에 π 가정 → 무의미.
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- **MCMC chain 1개로 수렴 판정** — R-hat (Gelman-Rubin) 다중 chain으로 확인.
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- **n-gram으로 자연어 생성 시도** — LLM 시대에 baseline 외 의미 적음.
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- **희소 상태 dense matrix** — 100k+ 상태는 `scipy.sparse` 필수.
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## 🧪 검증 / 중복
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- 중복 후보: [[MCMC]], [[Hidden-Markov-Models]], [[PageRank]] — 각각 응용 페이지로 분리. 본 문서는 이론 허브.
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- 검증: 행 합 1, π·P = π, eigenvalue=1 다중도로 reducibility 확인.
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## 🕓 Changelog
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- 2026-05-08 | Phase 1 — 자동 시드.
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- 2026-05-10 | Manual cleanup — 정상 분포·MCMC·HMM·PageRank 코드, 결정 기준, 안티패턴 정리.
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Reference in New Issue
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