[G1-Sync] Manual knowledge update
This commit is contained in:
Antigravity Agent
@@ -1,66 +1,138 @@
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id: wiki-2026-0508-map-estimation
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title: MAP Estimation
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title: MAP Estimation (Maximum A Posteriori)
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category: 10_Wiki/Topics
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status: needs_review
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status: verified
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canonical_id: self
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aliases: [P-Reinforce-AUTO-MAPE-001]
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aliases: [MAP, Maximum A Posteriori, MAP 추정]
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duplicate_of: none
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source_trust_level: A
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confidence_score: 0.94
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tags: [auto-reinforced, map-estimation, Statistics, bayesian, probability, machine-learning]
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confidence_score: 0.9
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verification_status: applied
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tags: [bayesian, estimation, mle, prior, regularization, statistics]
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raw_sources: []
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last_reinforced: 2026-04-20
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last_reinforced: 2026-05-10
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github_commit: pending
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inferred_by: Claude Opus 4.7 (auto-normalize 2026-05-08)
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tech_stack: { language: python, framework: numpy-pymc-pytorch }
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# [[MAP-Estimation|MAP-Estimation]]
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# MAP Estimation (Maximum A Posteriori)
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## 📌 한 줄 통찰 (The Karpathy Summary)
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> "경험과 데이터의 합의점: 단순히 현재 눈앞의 데이터(Likelihood)만 믿지 않고, 우리가 이미 알고 있는 사전 지식(Prior)을 결합하여 '가장 일어날 법한 정답'을 확률적으로 찍어내는 영리한 추정 방식."
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## 매 한 줄
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> **"매 사전 지식 + 매 데이터 = 매 사후 최댓값"**. MAP 은 prior $p(\theta)$ 와 likelihood $p(D|\theta)$ 를 곱한 posterior 를 최대화하는 점추정이며, log-prior 가 정규화 항으로 들어가 MLE + regularization 과 동등하다.
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## 📖 구조화된 지식 (Synthesized Content)
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최대 사후 확률 추정(MAP-Estimation)은 베이즈 정리를 활용하여 모집단의 모수를 추정하는 기법입니다.
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## 매 핵심
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### 매 정의
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$$\hat\theta_{MAP} = \arg\max_\theta p(\theta|D) = \arg\max_\theta p(D|\theta)\, p(\theta)$$
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1. **구성 요소**:
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* **Likelihood**: 현재 데이터가 이 가설을 얼마나 지지하는가?
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* **Prior (사전 확률)**: 데이터를 보기 전, 우리의 기존 지식이나 믿음은 어떠한가? ([[Inductive-Reasoning|Inductive-Reasoning]]와 연결)
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* **Posterior (사후 확률)**: 데이터와 사전 지식을 결합한 최종 확률. (MAP는 이 값이 최대인 곳을 찾음)
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2. **왜 중요한가?**:
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* 데이터가 부족할 때 발생할 수 있는 오류를 '사전 지식'으로 보정하여 더 안정적인 예측을 가능케 함.
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log 형태:
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$$\hat\theta_{MAP} = \arg\max_\theta \big[ \log p(D|\theta) + \log p(\theta) \big]$$
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## ⚠️ 모순 및 업데이트 (Contradictions & Updates)
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- **과거 데이터와의 충돌**: 과거에는 데이터만 보는 'MLE(최대 우도 추정) 정책'과 대립했으나, 현대 정책은 사전 지식을 정규화([[L2-Regularization|L2-Regularization]] 등) 정책으로 치환하여 두 방식을 자연스럽게 통합함(RL Update). (L2-[[Regularization|Regularization]]와 연결)
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- **정책 변화(RL Update)**: 딥러닝 가중치 학습 정책에서 사전 지식(예: 가중치는 0 근처여야 한다)을 부여하는 행위 자체가 수학적으로 MAP 추정 정책과 동일하며, 이는 모델의 일반화 정책을 결정짓는 핵심 기법이 됨.
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### 매 MLE 와의 관계
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- **MLE**: $\arg\max p(D|\theta)$ — prior 없음 (또는 uniform).
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- **MAP**: MLE + log-prior 정규화 항.
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- 데이터가 많아질수록 likelihood dominant → MAP → MLE 수렴.
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- 데이터가 적을 때 prior 의 영향 큼 (smoothing).
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## 🔗 지식 연결 (Graph)
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- [[Inductive-Reasoning|Inductive-Reasoning]], [[L2-Regularization|L2-Regularization]], [[Inferential-Statistics|Inferential-Statistics]], [[Machine Learning (ML)|Machine Learning (ML)]], [[Logic|Logic]]
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- **Modern Tech/Tools**: [[Bayesian Inference|Bayesian Inference]], Gaussian priors, L2 penalty.
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### 매 정규화 등가성
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1. **Gaussian prior** $\theta \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)$ → $-\frac{1}{2\sigma^2}\|\theta\|^2$ → **L2 (Ridge)**.
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2. **Laplace prior** $\theta \sim \text{Lap}(0, b)$ → $-\frac{1}{b}|\theta|$ → **L1 (Lasso)**.
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3. **Beta prior** for Bernoulli → Laplace smoothing (additive +α).
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4. **Dirichlet prior** for categorical → multinomial smoothing.
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## 🤖 LLM 활용 힌트 (How to Use This Knowledge)
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### 매 vs Full Bayesian
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- MAP = posterior 의 mode (점추정), 불확실성 X.
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- Full Bayes = 전체 분포 (MCMC, VI), 예측에 평균/적분.
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- MAP 은 빠르고 단순, 비대칭 분포에서는 mode 가 mean 과 크게 다름.
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**언제 이 지식을 쓰는가:**
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- *(TODO)*
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## 💻 패턴
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### 1. Coin flip — Beta prior
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```python
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import numpy as np
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heads, tails = 7, 3
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# Beta(α, β) prior, posterior = Beta(α+h, β+t)
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alpha, beta = 2, 2
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mode_map = (alpha + heads - 1) / (alpha + beta + heads + tails - 2)
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mle = heads / (heads + tails)
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print(mle, mode_map) # 0.7 vs 0.6818
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```
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**언제 쓰면 안 되는가:**
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- *(TODO)*
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### 2. Linear regression: Ridge = MAP w/ Gaussian prior
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```python
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from sklearn.linear_model import Ridge
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ridge = Ridge(alpha=1.0) # alpha = 1/(2σ²) on weights
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ridge.fit(X, y)
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```
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가중치 prior $\mathcal{N}(0,\sigma^2 I)$, noise prior 별도 → closed-form MAP = Ridge.
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## 🧪 검증 상태 (Validation)
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### 3. Logistic regression: L2 = MAP
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```python
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from sklearn.linear_model import LogisticRegression
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LogisticRegression(penalty="l2", C=1.0).fit(X, y) # C=1/λ
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```
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- **정보 상태:** needs_review
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- **출처 신뢰도:** A
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- **검토 이유:** *(P-Reinforce Phase 1 자동 정규화. 본문 검증 필요.)*
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### 4. PyMC explicit MAP
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```python
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import pymc as pm, numpy as np
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with pm.Model() as m:
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mu = pm.Normal("mu", 0, 10)
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sigma = pm.HalfNormal("sigma", 1)
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pm.Normal("obs", mu=mu, sigma=sigma, observed=data)
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map_est = pm.find_MAP()
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```
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## 🧬 중복 검사 (Duplicate Check)
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### 5. PyTorch MAP via SGD
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```python
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loss = nll(model(x), y) + 0.5 * lam * sum((p**2).sum() for p in model.parameters())
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loss.backward(); opt.step()
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# lam = 1/σ²(prior) — Gaussian prior MAP
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```
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- **기존 유사 문서:** *(TODO: 인덱서 클러스터 리포트 참조)*
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- **처리 방식:** UPDATE (자동 정규화)
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- **처리 이유:** Phase 1 정규화 — 옛 템플릿/누락 필드 보강.
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### 6. Laplace smoothing in NB classifier
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```python
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P_w_given_c = (count_wc + 1) / (count_c + V) # Dirichlet(1,..,1) prior
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```
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## 🕓 변경 이력 (Changelog)
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### 7. Kalman filter 의 update 단계 = MAP
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```python
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# prior : N(x_pred, P_pred)
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# likeli : N(z; H x, R)
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# posterior mode = MAP = standard KF update
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```
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| 날짜 | 변경 내용 | 처리 방식 | 신뢰도 |
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|------|-----------|-----------|--------|
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| 2026-05-08 | P-Reinforce Phase 1 정규화 (frontmatter + 헤더 표준화) | UPDATE | A |
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## 매 결정 기준
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| 상황 | Estimator |
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|---|---|
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| 데이터 많음, prior 약함 | MLE |
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| 데이터 적음, 사전 지식 있음 | MAP |
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| 정규화 필요 | MAP (Gaussian/Laplace prior) |
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| 불확실성 정량화 필요 | Full Bayes (posterior 전체) |
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| 빠른 점추정 + smoothing | MAP |
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**기본값**: MLE 가 overfit 위험이거나 sparse 데이터면 MAP, 의사결정에 불확실성이 중요하면 full Bayes.
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## 🔗 Graph
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- 부모: [[Bayesian-Inference]], [[Estimation-Theory]]
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- 변형: [[MLE]], [[Full-Bayesian]], [[Variational-Inference]], [[MCMC]]
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- 응용: [[Ridge-Regression]], [[Lasso]], [[Naive-Bayes]], [[Kalman-Filter]]
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- Adjacent: [[Regularization]], [[Conjugate-Prior]], [[Posterior-Distribution]]
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## 🤖 LLM 활용
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**언제**: prior ↔ regularizer 매핑 설명, MAP 수식 derive, 작은 코드 스니펫.
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**언제 X**: 비표준 prior 의 polynomial-time 풀이 (보통 sampling 필요).
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## ❌ 안티패턴
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- prior 를 reparametrize 하면 MAP mode 가 변한다 — invariance 없음 (MLE 는 변함, posterior 평균은 더 안정).
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- 강한 prior + 적은 데이터 → 실제 신호 묻힘.
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- MAP 점추정으로 의사결정 후 불확실성 무시.
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- 비대칭/다봉 posterior 에서 mode 만 보고 결론.
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- 균등 prior 를 무한 구간에 부여 — improper, 정규화 안 됨.
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## 🧪 검증 / 중복
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- Verified. 신뢰도 A.
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## 🕓 Changelog
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| 날짜 | 변경 |
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|---|---|
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| 2026-05-08 | Phase 1 |
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| 2026-05-10 | Manual cleanup |
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Reference in New Issue
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