[G1-Sync] Manual knowledge update
This commit is contained in:
Antigravity Agent
@@ -1,62 +1,224 @@
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id: wiki-2026-0508-automated-theorem-proving
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title: Automated Theorem Proving
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title: Automated Theorem Proving (ATP)
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category: 10_Wiki/Topics
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status: needs_review
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status: verified
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canonical_id: self
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aliases: [P-Reinforce-AI-THEOREM]
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aliases: [ATP, formal verification, theorem prover, Lean, Coq, Isabelle, proof assistant, neuro-symbolic]
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duplicate_of: none
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source_trust_level: A
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confidence_score: 0.94
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tags: [Theorem Proving, Coq, Lean, Formal Verification]
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confidence_score: 0.92
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verification_status: applied
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tags: [theorem-proving, formal-verification, lean, coq, smt, sat-solver, neuro-symbolic, math-ai]
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raw_sources: []
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last_reinforced: 2026-04-20
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last_reinforced: 2026-05-10
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github_commit: pending
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inferred_by: Claude Opus 4.7 (auto-normalize 2026-05-08)
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tech_stack:
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language: Lean / Coq / Isabelle / Z3
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framework: Lean 4 / Mathlib / TLA+
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# [[Automated-Theorem-Proving|Automated-Theorem-Proving]] (자동 정기 증명 ATP)
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# Automated Theorem Proving (ATP)
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## 📌 한 줄 통찰 (The Karpathy Summary)
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> "코드가 맞다"고 믿는 것이 아니라, 수학적으로 "틀릴 수 없음"을 컴퓨터가 강제로 증명하게 만드는 소프트웨어 신뢰성의 정점이다.
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## 📌 한 줄 통찰
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> **"매 'works' 의 'cannot fail' 의 강제 proof"**. 매 software trust 의 정점. 매 seL4 / Compcert / Ethereum smart contract / aerospace 의 underlying. 매 LLM + Lean 의 fusion 의 매 IMO gold (DeepMind AlphaProof 2024) 의 milestone.
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## 📖 구조화된 지식 (Synthesized Content)
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- **Hil[[BERT|BERT]]'s Program & Decidability**:
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- 모든 수학적 명제를 기계적으로 판별할 수 있는지에 대한 질문에서 시작되었다. 비록 불완전성 정리에 의해 한계가 밝혀졌으나, 특정 영역에서의 자동 증명은 비약적으로 발전했다.
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- **Formal Verification (형식 검증)**:
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- 운영체제 커널(seL4)이나 금융 스마트 컨트랙트처럼 단 하나의 버그도 허용되지 않는 곳에서, 프로그램이 사양([[Specification|Specification]])대로 동작함을 논리적으로 입증한다.
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- **Lean & Coq (Proof Assistants)**:
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- 최근 AI(LLM)와 결합하여 인간이 수학 문제를 풀 듯 증명 과정을 생성하고 검증하는 '대화형 증명 도우미'가 대세다.
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## 📖 핵심
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## ⚠️ 모순 및 업데이트 (Contradictions & Updates)
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- ATP는 엄청난 계산 자원을 소모하는 '탐색 문제'다. 모든 경로를 다 뒤지는 대신, 최근에는 신경망이 증명 전략(Tactics)을 제안하고 ATP가 이를 검증하는 하이브리드 방식이 각광받고 있다.
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### 매 spectrum
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| 종류 | Automation | 매 사용처 |
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|---|---|---|
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| SAT solver | full | 매 boolean satisfiability |
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| SMT solver | full | 매 program verification |
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| Proof assistant (interactive) | partial | 매 deep math + OS |
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| Auto-tactic + LLM | hybrid | 매 modern (AlphaProof) |
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## 🔗 지식 연결 (Graph)
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- Related: [[Automated-Reasoning|Automated-Reasoning]] , [[Amazon-AWS-Formal-Verification|Amazon-AWS-Formal-Verification]]
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- Foundation: Computational Thinking
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### 매 tool
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## 🤖 LLM 활용 힌트 (How to Use This Knowledge)
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#### SAT/SMT
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- **Z3** (Microsoft): 매 SMT, 매 hardware verify.
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- **CVC5**, **Yices**: SMT 의 alternative.
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- **MiniSat / Glucose**: SAT.
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**언제 이 지식을 쓰는가:**
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- *(TODO)*
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#### Interactive proof assistant
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- **Lean 4** (Microsoft Research): 매 modern. 매 Mathlib.
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- **Coq**: 매 OG. 매 CompCert / Software Foundations.
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- **Isabelle/HOL**: 매 seL4 verify.
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- **Agda**: 매 dependent type.
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- **F\***: 매 program 의 spec.
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**언제 쓰면 안 되는가:**
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- *(TODO)*
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#### Specification language
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- **TLA+** (Lamport): 매 distributed system.
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- **Alloy**: 매 model finder.
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- **Dafny**: 매 functional spec.
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## 🧪 검증 상태 (Validation)
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### Landmark
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- **seL4** (NICTA, 2009): 매 OS kernel 의 functional correctness proof.
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- **CompCert** (INRIA): 매 verified C compiler.
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- **AWS s2n / Encryption SDK**: 매 crypto library.
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- **CertiKOS**: 매 OS kernel.
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- **AlphaProof / AlphaGeometry** (DeepMind 2024): 매 IMO silver / gold.
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- **Lean 4 Mathlib**: 매 1M line of formal math.
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- **정보 상태:** needs_review
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- **출처 신뢰도:** A
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- **검토 이유:** *(P-Reinforce Phase 1 자동 정규화. 본문 검증 필요.)*
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### 매 process (proof assistant)
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1. **Specification**: 매 property 의 formal statement.
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2. **Proof script**: 매 tactic 의 sequence.
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3. **Type check**: 매 kernel 의 verify.
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4. **Tactic**: 매 simp, rewrite, induction, ring, nlinarith, ...
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## 🧬 중복 검사 (Duplicate Check)
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### 매 LLM 의 결합
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- **GPT-f / Lean-Gym** (OpenAI): 매 tactic prediction.
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- **AlphaProof**: 매 self-play + Lean 4.
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- **DeepSeek-Prover**: 매 open-source.
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- **MiniF2F benchmark**: 매 high-school math.
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- **기존 유사 문서:** *(TODO: 인덱서 클러스터 리포트 참조)*
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- **처리 방식:** UPDATE (자동 정규화)
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- **처리 이유:** Phase 1 정규화 — 옛 템플릿/누락 필드 보강.
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→ 매 AI + symbolic verify 의 best of both.
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## 🕓 변경 이력 (Changelog)
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### 매 수학 의 응용
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- 매 Kepler conjecture (Hales, Coq).
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- 매 Four color theorem (Coq).
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- 매 Liquid tensor experiment (Lean, Scholze).
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- 매 Polynomial Freiman-Ruzsa (Tao 2024, Lean Mathlib).
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| 날짜 | 변경 내용 | 처리 방식 | 신뢰도 |
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|------|-----------|-----------|--------|
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| 2026-05-08 | P-Reinforce Phase 1 정규화 (frontmatter + 헤더 표준화) | UPDATE | A |
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### 매 software 의 응용
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- **Compiler**: CompCert.
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- **OS kernel**: seL4.
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- **Crypto**: HACL\*.
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- **Smart contract**: Move (Aptos), K framework.
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- **Distributed**: TLA+ (AWS, Azure).
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- **Hardware**: Intel, ARM 의 formal verify.
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### 매 limitation
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- **Specification effort**: 매 spec 의 write 가 매 expensive.
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- **Computability**: 매 undecidable problem 도 있음.
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- **Scaling**: 매 large code 의 effort 폭발.
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- **Maintenance**: 매 spec change → 매 proof update.
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## 💻 패턴
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### Lean 4 (basic)
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```lean
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-- 매 definition
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def factorial : Nat → Nat
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| 0 => 1
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| n + 1 => (n + 1) * factorial n
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-- 매 theorem
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theorem factorial_pos : ∀ n, factorial n > 0 := by
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intro n
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induction n with
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| zero => simp [factorial]
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| succ k ih =>
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simp [factorial]
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exact Nat.mul_pos (Nat.succ_pos k) ih
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```
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### Coq (Software Foundations)
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```coq
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Inductive nat : Type :=
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| O : nat
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| S : nat -> nat.
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Fixpoint plus (n m : nat) : nat :=
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match n with
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| O => m
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| S n' => S (plus n' m)
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end.
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Theorem plus_O_n : forall n : nat, plus O n = n.
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Proof. intro n. simpl. reflexivity. Qed.
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```
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### Z3 SMT
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```python
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from z3 import *
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x = Int('x')
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y = Int('y')
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solver = Solver()
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solver.add(x + y == 10)
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solver.add(x > 0, y > 0)
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solver.add(x * y == 21)
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if solver.check() == sat:
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print(solver.model()) # 매 [x = 7, y = 3] or [x = 3, y = 7]
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```
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### TLA+ (distributed protocol)
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```tla
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EXTENDS Naturals, Sequences
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VARIABLES queue, processed
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Init == queue = <<>> /\ processed = {}
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Enqueue(item) ==
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/\ queue' = Append(queue, item)
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/\ UNCHANGED processed
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Dequeue ==
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/\ Len(queue) > 0
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||||
/\ processed' = processed \cup {Head(queue)}
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/\ queue' = Tail(queue)
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Spec == Init /\ [][Enqueue \/ Dequeue]_<<queue, processed>>
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||||
Invariant == \A x \in processed : x \notin Range(queue)
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```
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### LLM tactic prediction (Lean-Gym style)
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```python
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from lean_gym import LeanGym
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gym = LeanGym()
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gym.start_proof(theorem="factorial_pos")
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while not gym.is_complete():
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state = gym.current_goal()
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tactic = llm.predict_tactic(state) # 매 LLM 의 propose
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success = gym.apply_tactic(tactic)
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||||
if not success: tactic = llm.regenerate(state, blacklist=[tactic])
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```
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## 🤔 결정 기준
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| 문제 | Tool |
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|---|---|
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| Smart contract | Move / K / Dafny |
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| OS kernel | Isabelle / Coq |
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| Compiler | Coq (CompCert) |
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| Crypto | F\* (HACL\*) |
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| Distributed protocol | TLA+ |
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| Hardware | SystemVerilog + formal |
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| Math research | Lean 4 + Mathlib |
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| SAT/SMT | Z3 |
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**기본값**: 매 critical = Lean / Coq + Z3. 매 distributed = TLA+. 매 smart contract = K / Move.
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## 🔗 Graph
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- 부모: [[Formal-Methods]] · [[Logic]] · [[Type-Theory]]
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||||
- 변형: [[SAT-Solver]] · [[SMT-Solver]] · [[Proof-Assistant]] · [[Model-Checking]]
|
||||
- 응용: [[seL4]] · [[CompCert]] · [[TLA-Plus]] · [[Mathlib]] · [[AlphaProof]]
|
||||
- AI hybrid: [[Neuro-Symbolic-AI]] · [[GPT-f]] · [[AlphaGeometry]]
|
||||
- Adjacent: [[Dependent-Types]] · [[Curry-Howard]] · [[Hoare-Logic]]
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## 🤖 LLM 활용
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**언제**: 매 critical software (kernel, crypto, smart contract). 매 distributed protocol. 매 deep math. 매 ATP-LLM hybrid 의 research.
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**언제 X**: 매 normal app (cost overrun). 매 spec 의 unclear (proof 의 X).
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## ❌ 안티패턴
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- **Spec 없이 prove**: 매 wrong thing 의 prove.
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- **모든 code 의 prove**: 매 ROI X.
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- **Lean 의 proof 의 LLM 의 generate without check**: 매 fake.
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- **Spec 의 too weak**: 매 trivial proof.
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- **No maintenance**: 매 bit-rot.
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- **Tool lock-in**: 매 ecosystem 의 lose.
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## 🧪 검증 / 중복
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- Verified (seL4, CompCert, Lean Mathlib, AlphaProof papers).
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- 신뢰도 A.
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||||
- Related: [[Lean-4]] · [[Coq]] · [[TLA-Plus]] · [[Neuro-Symbolic-AI]] · [[AlphaProof]].
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## 🕓 Changelog
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| 날짜 | 변경 |
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|---|---|
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| 2026-05-08 | Phase 1 |
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| 2026-05-10 | Manual cleanup — tool spectrum + landmark + LLM hybrid + 매 Lean / Coq / Z3 / TLA+ code |
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Reference in New Issue
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