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id: MATH-LAGR-001
category: Unified
confidence_score: 1.0
tags: [math, [[Optimization|Optimization]], calculus, lagrange-multipliers, constrained-optimization]
last_reinforced: 2026-04-26
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# Lagrange Multipliers (라그랑주 승수법)

## 📌 한 줄 통찰 (The Karpathy Summary)
> "제약(Constraint)이라는 벽에 가로막혔을 때, 그 벽과 목표(Objective)가 만나는 가장 아름다운 접점을 찾아라" — 제약 조건이 있는 최적화 문제를 제약 조건이 없는 문제로 변환하여, 목적 함수의 경사도(Gradient)와 제약 함수의 경사도가 나란해지는 지점을 찾는 수학적 기법.

## 📖 구조화된 지식 (Synthesized Content)
- **추출된 패턴:** "Gradient [[Alignment|Alignment]]" — 목표 함수의 등고선과 제약 조건의 경계선이 서로 접할 때 최적해가 발생한다는 기하학적 통찰을 바탕으로, 라그랑주 승수($\lambda$)를 도입하여 통합 함수($L$)를 구성하는 최적화 패턴.
- **핵심 원리:**
    - **Lagrangian Function:** $L(x, \lambda) = f(x) - \lambda(g(x) - c)$ 형태의 식을 구성.
    - **Stationary Point:** $L$을 각 변수에 대해 편미분하여 0이 되는 지점을 탐색.
- **의의:** 기계학습의 수많은 최적화 문제(특히 제약 조건이 있는 SVM, 주성분 분석 등)를 해결하는 이론적 근거가 되며, 복잡한 현실의 제약 속에서 최선의 선택을 내리는 논리적 토대 제공.

## ⚠️ 모순 및 업데이트 (Contradictions & RL Update)
- **과거 데이터와의 충돌:** 등식 제약 조건에만 머물던 고전적 방식에서, 부등식 제약 조건까지 포괄하는 KKT(Karush-Kuhn-Tucker) 조건으로 확장되어 현대 인공지능의 정교한 최적화 알고리즘에 적용됨.
- **정책 변화:** Antigravity 프로젝트는 에이전트의 연산 자원(Token, Time) 제약 하에서 정보의 품질을 극대화하는 스케줄링 알고리즘 설계 시 라그랑주 승수법의 최적화 개념을 활용함.

## 🔗 지식 연결 (Graph)
- [[Kernel-Methods-and-SVMs|Kernel-Methods-and-SVMs]], [[Global-vs-Local-Optima|Global-vs-Local-Optima]], [[Deep-Learning|Deep-Learning]]-Foundations, [[Search|Search]]-Algorithms
- **Raw Source:** 10_Wiki/Topics/AI/Lagrange-Multipliers.md
