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id: MATH-PDE-001
category: Unified
confidence_score: 1.0
tags: [math, calculus, pde, [[Physics|Physics]]-informed-ml, scientific-computing, fluid-dynamics]
last_reinforced: 2026-04-26
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# Partial Differential Equations (PDE, 편미분 방정식)

## 📌 한 줄 통찰 (The Karpathy Summary)
> "세상의 모든 복잡한 변화는 시간과 공간이라는 여러 변수의 얽힘 속에 있으며, 이를 편미분이라는 돋보기로 들여다볼 때 비로소 물리적 질서가 드러난다" — 독립 변수가 둘 이상인 함수와 그 도함수들 사이의 관계를 나타내는 방정식으로, 물리적 세계의 연속적인 변화를 설명하는 가장 강력한 수학적 언어.

## 📖 구조화된 지식 (Synthesized Content)
- **추출된 패턴:** "Multi-variable Dynamics and Constraint Satisfaction" — 열 전도(Heat), 파동(Wave), 유체 흐름(Navier-Stokes) 등 공간상의 위치와 시간의 흐름에 따라 변하는 물리 현상을 수식화하고, 이를 수치 해석이나 신경망을 통해 해결하여 미래 상태를 예측하는 패턴.
- **AI와의 접점:**
    - **PINNs (Physics-informed Neural Networks):** 신경망의 손실 함수에 PDE 식을 직접 포함시켜, 데이터뿐만 아니라 물리 법칙까지 준수하도록 학습.
    - **Scientific AI:** 기상 예측, 신소재 설계, 유체 역학 시뮬레이션 등 정밀한 과학적 추론이 필요한 분야의 핵심 엔진.
- **의의:** 데이터가 부족한 환경에서도 물리적 법칙(상식)을 바탕으로 정확한 추론을 가능케 하며, '블랙박스 AI'를 '법칙 기반 AI'로 진화시키는 가교 역할.

## ⚠️ 모순 및 업데이트 (Contradictions & RL Update)
- **과거 데이터와의 충돌:** 엄청난 연산량이 필요한 수치 해석(Finite Element Method 등)에만 의존하던 방식에서, 이제는 신경망이 PDE의 해를 직접 근사하여 수만 배 빠른 속도로 시뮬레이션을 수행하는 'AI 대리 모델(Surrogate Model)' 방식으로 패러다임이 시프트됨.
- **정책 변화:** Antigravity 프로젝트는 향후 Skybound의 기상 효과 시뮬레이션이나 물리 기반 에이전트 행동 최적화 시, PDE 기반의 PINNs 아키텍처를 도입하여 시각적 리얼리티와 물리적 개연성을 동시에 확보할 계획임.

## 🔗 지식 연결 (Graph)
- [[Optimal-Control-Theory|Optimal-Control-Theory]], Fluid-Dynamics, [[Deep-Learning|Deep-Learning]]-Foundations, Scientific-Computing-in-AI
- **Raw Source:** 10_Wiki/Topics/AI/Partial-Differential-Equations.md
