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id: MATH-MC-INT-001
category: Unified
confidence_score: 1.0
tags: [math, [[Statistics|Statistics]], monte-carlo, integration, sampling, numerical-[[Analysis|Analysis]]]
last_reinforced: 2026-04-26
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# Monte Carlo Integration (몬테카를로 적분)

## 📌 한 줄 통찰 (The Karpathy Summary)
> "해석적으로 풀 수 없는 복잡한 영역의 넓이를 무작위 샘플링의 통계적 평균으로 정복하라" — 함수의 적분값을 구하기 위해 영역 내에서 무작위 점을 추출하고, 그 점들의 함숫값 평균을 통해 전체 적분량을 근사적으로 계산하는 수치 해석 기법.

## 📖 구조화된 지식 (Synthesized Content)
- **추출된 패턴:** "Statistical Approximation of Continuous Space" — 연속적인 공간 전체를 계산하는 대신, 대표적인 샘플들을 충분히 많이 추출하면 그 평균이 실제 값에 수렴한다는 대수의 법칙을 활용하여 '차원의 저주'를 극복하는 적분 패턴.
- **수식적 원리:** $I = \int f(x) dx \approx \frac{V}{N} \sum_{i=1}^N f(x_i)$. 여기서 $V$는 영역의 부피, $N$은 샘플 수.
- **주요 특징:**
    - **Dimension Independence:** 차원이 높아져도 샘플링 기반이기에 연산 복잡도가 지수적으로 증가하지 않음.
    - **Probabilistic Accuracy:** 샘플 수가 늘어날수록 실제 값에 확률적으로 수렴하며, 오차 범위를 통계적으로 추정 가능.
- **의의:** 베이지안 추론, 강화학습의 기댓값 계산, 레이 트레이싱(Ray Tracing) 그래픽스 연산 등 현대 과학 계산의 핵심 근간.

## ⚠️ 모순 및 업데이트 (Contradictions & RL Update)
- **과거 데이터와의 충돌:** 샘플링의 무작위성 때문에 결과가 매번 미세하게 달라질 수 있다는 단점이 있으나, 중요도 샘플링(Importance Sampling)이나 준-몬테카를로(Quasi-Monte Carlo) 기법을 통해 분산을 줄이고 수렴 속도를 높이는 방향으로 진화함.
- **정책 변화:** Antigravity 프로젝트는 에이전트의 불확실한 보상 기대치를 계산하거나 대규모 지식 그래프의 잠재적 연결 강도를 추정할 때, 몬테카를로 적분 원리를 기반으로 한 시뮬레이션을 수행함.

## 🔗 지식 연결 (Graph)
- [[Markov-Chain-Monte-Carlo|Markov-Chain-Monte-Carlo]], Probability-Theory, Monte-Carlo-Tree-Search-MCTS, Bayesian-Inference
- **Raw Source:** 10_Wiki/Topics/AI/Monte-Carlo-Integration.md
