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id: MATH-INNER-001
category: Unified
confidence_score: 1.0
tags: [math, [[Linear-Algebra|Linear-Algebra]], inner-product, vector-space, [[Similarity-Metrics|Similarity-Metrics]], ai]
last_reinforced: 2026-04-26
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# Inner Product Spaces (내적 공간)

## 📌 한 줄 통찰 (The Karpathy Summary)
> "추상적인 벡터들 사이에 거리를 재고 각도를 측정하여, 데이터 간의 '닮음'을 기하학적으로 정의하라" — 벡터 공간에 내적(Inner Product)이라는 연산이 추가되어 길이(Norm)와 각도(Orthogonality)를 계산할 수 있게 된 공간.

## 📖 구조화된 지식 (Synthesized Content)
- **추출된 패턴:** 고차원 데이터 공간에서 두 요소 사이의 상관관계를 스칼라 값 하나로 응축하여, 데이터의 유사성이나 투영(Projection)을 계산하는 선형 대수적 분석 패턴.
- **핵심 성질:**
    - **Positivity:** 자기 자신과의 내적은 항상 0 이상.
    - **Symmetry (Conjugate Symmetry):** 순서를 바꿔도 결과가 일정함.
    - **Linearity:** 벡터의 합과 스칼라 곱에 대해 선형성이 유지됨.
- **AI에서의 응용:**
    - **Cosine Similarity:** 두 벡터의 내적을 각각의 크기로 나누어 '방향의 일치도' 측정.
    - **Projection:** 특정 벡터를 다른 벡터 축으로 투영하여 특징을 추출하거나 차원을 축소(PCA).
    - **Kernel Methods:** 데이터를 더 높은 차원의 내적 공간으로 보내 복잡한 경계를 선형적으로 분리.
- **의의:** AI가 지식을 벡터로 변환(Embedding)하고 이를 검색하거나 비교하는 모든 수치적 연산의 이론적 토대.

## ⚠️ 모순 및 업데이트 (Contradictions & RL Update)
- **과거 데이터와의 충돌:** 단순한 유클리드 거리 중심에서 벗어나, 데이터의 분포와 맥락을 반영하는 다양한 내적 정의와 유사도 지표(Dot product, Cosine similarity 등)의 중요성 대두.
- **정책 변화:** Antigravity 프로젝트는 문서 간 유사도 분석 시, 내적 공간 상의 코사인 유사도를 기본 지표로 사용하여 의미적으로 가장 가까운 지식들을 추천함.

## 🔗 지식 연결 (Graph)
- [[Linear-Algebra-Foundations|Linear-Algebra-Foundations]], Vector-Database-Foundations, [[Dimensionality-Reduction|Dimensionality-Reduction]], [[Information-Retrieval-IR|Information-Retrieval-IR]]
- **Raw Source:** 10_Wiki/Topics/AI/Inner-Product-Spaces.md
