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id: MATH-EIGEN-001
category: Unified
confidence_score: 1.0
tags: [math, [[Linear-Algebra|Linear-Algebra]], ai, eigenvalues, eigenvectors, [[Dimensionality-Reduction|Dimensionality-Reduction]]]
last_reinforced: 2026-04-26
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# Eigenvalues and Eigenvectors (고유값과 고유벡터)

## 📌 한 줄 통찰 (The Karpathy Summary)
> "행렬이라는 변환 속에서도 흔들리지 않는 축과 그 크기를 찾아라" — 선형 변환 시 방향은 변하지 않고 크기만 변하는 벡터(Eigenvector)와 그 변화하는 배수(Eigenvalue)로, 데이터의 본질적 구조를 파악하는 선형대수의 핵심 도구.

## 📖 구조화된 지식 (Synthesized Content)
- **추출된 패턴:** 복잡한 다차원 데이터를 선형 변환했을 때 정보의 손실이 가장 적거나 변화량이 가장 큰 핵심 방향(축)을 추출하는 수학적 분석 패턴.
- **수학적 정의:** $Av = \lambda v$
    - $A$: 선형 변환 행렬.
    - $v$: 고유벡터 (변환 후에도 방향이 유지됨).
    - $\lambda$: 고유값 (고유벡터의 길이가 변하는 비율).
- **AI 응용:**
    - **PCA (주성분 분석):** 데이터의 분산이 최대인 고유벡터를 찾아 차원 축소 수행.
    - **PageRank:** 웹페이지 간의 연결 행렬에서 최대 고유값에 해당하는 고유벡터를 통해 페이지 중요도 산출.
    - **Face Recognition:** Eigenfaces 기법을 통해 얼굴의 핵심 특징 추출.

## ⚠️ 모순 및 업데이트 (Contradictions & RL Update)
- **과거 데이터와의 충돌:** 단순한 수학적 연습 문제 수준에서, 현대 딥러닝과 데이터 사이언스의 모든 연산(임베딩, 추천, 물리 시뮬레이션 등)을 지탱하는 기반 기술로 가치 재정립.
- **정책 변화:** Antigravity 프로젝트는 지식 노드 간의 중요도를 산출하는 그래프 분석 알고리즘 설계 시 고유값 분해(Eigen-decomposition) 원리를 활용함.

## 🔗 지식 연결 (Graph)
- Principal-Component-[[Analysis|Analysis]]-PCA, [[Dimensionality-Reduction|Dimensionality-Reduction]], [[Linear-Algebra-Foundations|Linear-Algebra-Foundations]], Vector-Database-Selection
- **Raw Source:** 10_Wiki/Topics/AI/Eigenvalues-and-Eigenvectors.md
