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id: wiki-2026-0508-markov-chains
title: Markov Chains
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tags: [probability, stochastic-process, markov, mcmc, hmm, pagerank, statistics]
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# Markov Chains

> 한 줄: "미래는 현재에만 의존" (memoryless) — 상태 전이 확률 행렬로 표현되는 확률 과정. PageRank·MCMC·HMM의 수학적 토대.

## 핵심
- **Markov property**: P(X_{t+1} | X_t, X_{t-1}, ...) = P(X_{t+1} | X_t). 과거 무관, 현재만.
- **Transition matrix P**: 행 합 = 1 (right stochastic). P[i][j] = i→j 확률.
- **Stationary distribution π**: πP = π. 충분히 오래 돌리면 수렴하는 분포 (ergodic 가정).
- **분류**: irreducible (모든 상태 도달), aperiodic (주기 없음), recurrent vs transient. 둘 다 만족 → ergodic → unique π.
- **Continuous-time (CTMC)**: rate matrix Q, e^{Qt}로 t-step 분포. queueing/생존분석.

## 결정 기준
| 문제 | 도구 | 비고 |
|---|---|---|
| 정상 분포 계산 | π = left eigenvector of P (eigval=1) | `scipy.linalg.eig` |
| 큰 sparse P | power iteration | PageRank 방식 |
| 사후분포 샘플링 | MCMC (Metropolis-Hastings, Gibbs) | PyMC, Stan, NumPyro |
| 숨은 상태 추론 | HMM (Forward-Backward, Viterbi) | hmmlearn |
| 강화학습 | MDP (action 추가) | gymnasium, stable-baselines3 |
| 시퀀스 생성(텍스트) | n-gram MC | 단순 baseline, LLM에 밀림 |

## 💻 패턴

### Transition matrix & 정상 분포
```python
import numpy as np
P = np.array([[0.7, 0.2, 0.1],
              [0.3, 0.4, 0.3],
              [0.2, 0.3, 0.5]])
# Method 1: eigenvector
w, v = np.linalg.eig(P.T)
pi = np.real(v[:, np.isclose(w, 1)].flatten()); pi /= pi.sum()
# Method 2: power iteration (sparse-friendly)
x = np.ones(3) / 3
for _ in range(1000): x = x @ P
print(pi, x)  # 동일
```

### Simulation
```python
def simulate(P, x0, T, rng=np.random.default_rng(0)):
    states = [x0]
    for _ in range(T):
        states.append(rng.choice(len(P), p=P[states[-1]]))
    return states
```

### PageRank
```python
def pagerank(M, d=0.85, tol=1e-8):
    n = M.shape[0]
    r = np.ones(n) / n
    teleport = np.ones(n) / n
    while True:
        r_new = d * (M.T @ r) + (1 - d) * teleport
        if np.linalg.norm(r_new - r, 1) < tol: return r_new
        r = r_new
```

### Metropolis-Hastings (MCMC)
```python
def metropolis(log_p, x0, n=10000, sigma=1.0, rng=np.random.default_rng()):
    samples = [x0]; x = x0
    for _ in range(n):
        x_prop = x + rng.normal(scale=sigma)
        if np.log(rng.random()) < log_p(x_prop) - log_p(x):
            x = x_prop
        samples.append(x)
    return np.array(samples)
```

### Hidden Markov Model
```python
from hmmlearn import hmm
model = hmm.GaussianHMM(n_components=3, covariance_type="diag", n_iter=100)
model.fit(X)                 # Baum-Welch
states = model.predict(X)    # Viterbi
log_prob = model.score(X)    # Forward
```

### Mean first passage time
```python
def mean_first_passage(P, target):
    n = len(P); Q = np.delete(np.delete(P, target, 0), target, 1)
    return np.linalg.solve(np.eye(n-1) - Q, np.ones(n-1))
```

## 🔗 Graph
- 상위: [[Probability]]
- 관련: [[MCMC]] · [[MDP]] · [[Reinforcement-Learning]] · [[Bayesian-Inference]]

## 🤖 LLM 활용
- LLM에게 transition matrix 입력 → 정상 분포·mixing time 해석 부탁 가능. 단, 수치 계산은 NumPy로 검증.
- "내 도메인 문제를 MC로 모델링 가능한가?" 프레이밍에 LLM 유용 (state space 설계).

## ❌ 안티패턴
- **Markov property 위반 데이터에 MC 적용** — 장기 의존 → HMM/RNN/Transformer 고려.
- **Ergodicity 미확인 정상 분포** — reducible/주기 그래프에 π 가정 → 무의미.
- **MCMC chain 1개로 수렴 판정** — R-hat (Gelman-Rubin) 다중 chain으로 확인.
- **n-gram으로 자연어 생성 시도** — LLM 시대에 baseline 외 의미 적음.
- **희소 상태 dense matrix** — 100k+ 상태는 `scipy.sparse` 필수.

## 🧪 검증 / 중복
- 중복 후보: [[MCMC]], [[Hidden-Markov-Models]], [[PageRank]] — 각각 응용 페이지로 분리. 본 문서는 이론 허브.
- 검증: 행 합 1, π·P = π, eigenvalue=1 다중도로 reducibility 확인.

## 🕓 Changelog
- 2026-05-08 | Phase 1 — 자동 시드.
- 2026-05-10 | Manual cleanup — 정상 분포·MCMC·HMM·PageRank 코드, 결정 기준, 안티패턴 정리.
