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id: wiki-2026-0508-linear-discriminant-analysis
title: Linear Discriminant Analysis
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aliases: [LDA, Fisher Discriminant, Fisher LDA]
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tags: [machine-learning, classification, dimensionality-reduction, supervised, sklearn]
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last_reinforced: 2026-05-10
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tech_stack:
  language: python
  framework: scikit-learn
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# Linear Discriminant Analysis

## 매 한 줄
> **"매 LDA = 클래스 간 분산은 최대, 클래스 내 분산은 최소가 되는 축을 찾는 supervised dim reduction"**. Fisher (1936)가 제안한 방법으로 PCA가 variance-maximizing이라면 LDA는 separability-maximizing. 동시에 Gaussian + 공분산 동일 가정 하에서 optimal Bayes classifier가 된다.

## 매 핵심

### 매 핵심 수식
- $S_W = \sum_c \sum_{x \in c}(x - \mu_c)(x - \mu_c)^T$ — within-class scatter.
- $S_B = \sum_c n_c (\mu_c - \mu)(\mu_c - \mu)^T$ — between-class scatter.
- 목적: $\arg\max_W \frac{|W^T S_B W|}{|W^T S_W W|}$.
- 해: $S_W^{-1} S_B$의 top eigenvector — 최대 (C-1)개 (C: class 수).

### 매 LDA vs PCA
| 항목 | PCA | LDA |
|---|---|---|
| 지도/비지도 | 비지도 | 지도 |
| 목적 | variance 최대 | class separability 최대 |
| 출력 차원 한계 | min(n, d) | C-1 |
| 가정 | 없음 (centered) | Gaussian, 공분산 동일 |

### 매 분류기로서의 LDA
- 각 class가 같은 공분산 Σ를 가진 Gaussian이라 가정.
- Decision boundary가 linear.
- QDA (Quadratic): 공분산이 class별로 다름 → quadratic boundary.

### 매 한계
- 클래스 분포가 비-Gaussian이면 약함.
- Class 불균형 시 majority에 끌림.
- 비선형 boundary 못함 → Kernel LDA / NDA.
- C-1 차원 제약 → 2-class면 1차원만.

### 매 응용
1. Face recognition (Fisherfaces).
2. 의료 진단 (small classes, Gaussian-ish).
3. Document classification (TF-IDF 후).
4. EEG/생체신호 분류.
5. PCA 후 분류 직전 supervision으로 dim 줄이기.

## 💻 패턴

### sklearn — 기본 분류
```python
from sklearn.discriminant_analysis import LinearDiscriminantAnalysis
from sklearn.model_selection import cross_val_score

lda = LinearDiscriminantAnalysis()
print(cross_val_score(lda, X, y, cv=5).mean())
lda.fit(X_tr, y_tr)
print("priors:", lda.priors_, "means shape:", lda.means_.shape)
```

### LDA를 dim reduction으로 사용
```python
lda = LinearDiscriminantAnalysis(n_components=2)
X_2d = lda.fit_transform(X, y)   # (n, 2) — class별로 시각화
import matplotlib.pyplot as plt
for c in np.unique(y):
    plt.scatter(X_2d[y==c, 0], X_2d[y==c, 1], label=str(c), alpha=.6)
plt.legend(); plt.show()
```

### LDA + Logistic 비교
```python
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.pipeline import Pipeline
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

models = {
  "lda": LinearDiscriminantAnalysis(),
  "logreg": Pipeline([("sc", StandardScaler()), ("lr", LogisticRegression(max_iter=2000))]),
}
for name, m in models.items():
    print(name, cross_val_score(m, X, y, cv=5).mean())
# Gaussian/공분산 동일에 가까우면 LDA가 logreg보다 안정적
```

### Shrinkage LDA — 고차원/소표본
```python
# d >> n 일 때 S_W가 singular → shrinkage 사용
lda = LinearDiscriminantAnalysis(solver="lsqr", shrinkage="auto")  # Ledoit-Wolf
lda.fit(X, y)
```

### QDA — 공분산 다를 때
```python
from sklearn.discriminant_analysis import QuadraticDiscriminantAnalysis
qda = QuadraticDiscriminantAnalysis(reg_param=0.01).fit(X_tr, y_tr)
print(qda.score(X_te, y_te))
```

### From scratch — eigenvalue 풀이
```python
import numpy as np
def lda_fit(X, y, n_components=None):
    classes = np.unique(y); d = X.shape[1]
    mean_total = X.mean(0)
    Sw = np.zeros((d, d)); Sb = np.zeros((d, d))
    for c in classes:
        Xc = X[y == c]
        mc = Xc.mean(0)
        Sw += (Xc - mc).T @ (Xc - mc)
        Sb += len(Xc) * np.outer(mc - mean_total, mc - mean_total)
    eigvals, eigvecs = np.linalg.eig(np.linalg.pinv(Sw) @ Sb)
    idx = np.argsort(-eigvals.real)
    W = eigvecs[:, idx[:n_components or len(classes)-1]].real
    return W

W = lda_fit(X, y, n_components=2)
X_proj = X @ W
```

### Pipeline — PCA → LDA
```python
from sklearn.decomposition import PCA
pipe = Pipeline([
    ("pca", PCA(n_components=50)),       # 1차로 dim 줄임 (S_W singular 회피)
    ("lda", LinearDiscriminantAnalysis(n_components=9)),  # 10-class 가정
    ("clf", LogisticRegression()),
]).fit(X_tr, y_tr)
```

## 매 결정 기준
| 상황 | Approach |
|---|---|
| Class별 Gaussian + 공분산 동일 | LDA (분류 + dim reduction) |
| Class별 공분산 다름 | QDA |
| d >> n 또는 small sample | Shrinkage LDA |
| 비-Gaussian / 비선형 | Kernel LDA, tree, NN |
| 시각화 (class-aware) | LDA(n_components=2 또는 3) |

**기본값**: `StandardScaler` 후 sklearn `LinearDiscriminantAnalysis(solver="lsqr", shrinkage="auto")`.

## 🔗 Graph
- 부모: [[Supervised-Learning]], [[Dimensionality-Reduction]]
- 변형: [[Quadratic-Discriminant-Analysis]], [[Kernel-LDA]]
- 응용: [[Fisherfaces]], [[Image-Classification]], [[Bioinformatics]]
- Adjacent: [[PCA]], [[Logistic-Regression-Foundations]], [[Naive-Bayes]]

## 🤖 LLM 활용
**언제**: PCA vs LDA 결정 가이드, scatter matrix 직관 설명, shrinkage 파라미터 해석.
**언제 X**: covariance 동일성 통계 검정 — Box's M test 등 statistician 영역.

## ❌ 안티패턴
- **Scaling 안 함**: 큰 scale feature가 scatter matrix 지배.
- **C-1 차원 초과 요구**: 수학적으로 불가능.
- **Class 매우 불균형**: priors 자동값으로 거대 majority 쏠림.
- **고차원 소표본 raw LDA**: S_W singular → shrinkage 또는 PCA 선행.
- **비-Gaussian 무시**: outlier 한 개로 전체 boundary 흔들림.

## 🧪 검증 / 중복
- Verified (Fisher 1936, ESL Ch.4, sklearn 1.5+).
- 신뢰도 A.

## 🕓 Changelog
| 날짜 | 변경 |
|---|---|
| 2026-05-08 | Phase 1 |
| 2026-05-10 | Manual cleanup — Shrinkage/QDA, from-scratch eigen, PCA→LDA pipeline |
